MATHEMATICAチュートリアル

パデ(Padé)近似

パデ近似はテーラー多項式を一般化したものと考えられる有理関数である.有理関数は多項式の比である.有理関数には基礎演算しか使われないので,数値的評価が非常に簡単である.分母多項式を使うと,有理特異点を持つ関数を近似することができる.

PadeApproximant[f,{x,x0,{n,m}}]中心 で次数 のパデ近似を返す
PadeApproximant[f,{x,x0,n}]中心 で次数 n の対角パデ近似を返す

パデ近似

より正確に言うと,正則点あるいは極 における次数の解析関数 のパデ近似は有理関数 である.ここで は次数 の多項式,は次数 の多項式であり,点 付近の の形式的ベキ級数は項から始まる.もし に等しければ,近似は次数 の対角パデ近似と呼ばれる.

における次数へのパデ近似である.
In[1]:=
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Out[1]=
同じ次数の別のパデ近似である.
In[2]:=
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Out[2]=
この級数の初項は消える.これがパデ近似の特徴である.
In[3]:=
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Out[3]=
近似と実際の関数との差をプロットしたものである.展開の中心部では非常によい近似となっているが,中心から遠ざかるに連れて誤差が急速に拡大する点に注目.
In[4]:=
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Out[4]=

Mathematica では,PadeApproximantは分岐点付近での展開を許すよう一般化されている.

付近における一般化された有理関数への次数の対角パデ近似を返す.
In[5]:=
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Out[5]=
分岐点 における有理関数の対数への次数の対角パデ近似を返す.
In[6]:=
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Out[6]=
関数の級数展開は次数までの対角パデ近似に一致する.
In[7]:=
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Out[7]=
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