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求解线性系统
许多计算涉及求解线性方程组. 在许多情形下，明确写出各个方程，然后使用 Solve 求解是方便的.
然而对某些情形，用户会偏好把线性方程组化为矩阵方程，然后使用矩阵运算求解. 当方程组是一般规则系统的一部分，且事先不知道包含多少变量时，此方法是很有用的.
注意，如果方程系统是稀疏的，即相应的矩阵 
的大多数元素是零，那么最好是把矩阵表示为一个 SparseArray 对象. 就像在 "稀疏数组：线性代数" 中讨论的，能够使用 CoefficientArrays 来把符号方程转化成 SparseArray 对象. 所有这里描述的函数不但对普通的矩阵适用，而且也对 SparseArray 对象适用.
| LinearSolve[m,b] | 给出矩阵方程  的解的向量  |
| NullSpace[m] | 一列线性独立的向量，它们的线性组合包括矩阵方程  的所有解 |
| MatrixRank[m] |  的线性独立的行数或列数 |
| RowReduce[m] | 通过行的线性组合得到的  的简化形式 |
| In[1]:= |
| Out[1]= |  |
| In[2]:= |
| Out[2]= |  |
| In[3]:= |
| Out[3]= |  |
| In[4]:= |
| Out[4]= |  |
| In[5]:= |
| Out[5]= |  |
| In[6]:= |
| Out[6]= |  |
如果方阵 
的行列式不为零，那么对任意 
总能求出矩阵方程 
的唯一解. 但当 
的行列式为零时，对特定的 
可能没有向量 
，或者有无穷多个向量 
满足 
. 这在 
中体现的线性方程不是独立的时候会出现.
当 
的行列式为零时，总能求出非零向量 
满足 
. 满足此方程的向量 
的集合构成矩阵 
的零空间或核. 任何这些向量都能被表示为某组基向量的线性组合，基向量可以使用 NullSpace[m] 来获得.
| In[7]:= |
| Out[7]= |  |
| In[8]:= |
| Out[8]= |  |
| In[10]:= |
| Out[10]= |  |
| In[11]:= |
| Out[11]= |  |
| In[12]:= |
| Out[12]= |  |
NullSpace 和 MatrixRank 必须决定矩阵元素的特定组合是否为零. 对于近似数值矩阵，能够用 Tolerance 选项来指定在和零多近时才可以被认为是足够近的. 对于精确的符号矩阵，有时需要指定类似ZeroTest->(FullSimplify[#]==0&) 的事项来强制进行更多的工作做以检验符号表达式是否为零.
| In[13]:= |
| Out[13]= |  |
| In[14]:= |
| Out[14]= |  |
| In[15]:= |
| Out[15]= |  |
LinearSolve 和 NullSpace 的一个重要特点是它们对方阵和长方阵都有效.
当用矩阵方程形式 
表示线性方程组时，
的列数就是变量的个数，其行数是方程的个数. 方程有多种情形.
欠定 | 方程的个数少于变量的个数；可能无解，也可能有多解 |
超定 | 方程的个数多于变量的个数；可能有解，也可能无解 |
非奇异 | 独立方程的个数等于变量的个数，行列式不为零；存在唯一解 |
相容 | 至少存在一个解 |
不相容 | 不存在解 |
| In[17]:= |
| Out[17]= |  |
| In[18]:= |
| Out[18]= |  |
| In[19]:= |
| Out[19]= |  |
| In[20]:= |
| Out[20]= |  |
独立方程的个数是矩阵的秩 MatrixRank[m]. 多余方程的数目是 Length[NullSpace[m]]. 注意，这两个量之和总是等于 m 的列数.
| LinearSolve[m] | 产生一个求解形如  的方程的函数 |
产生 LinearSolveFunction 对象.
在某些应用中，会希望多次求解形式为 
的方程组，它们具有相同的 
，但不同的 
. 在 Mathematica 中能这样有效地做，那就是使用 LinearSolve[m] 来产生一个单一的 LinearSolveFunction，它能应用于任意多的向量.
| In[21]:= |
| Out[21]= |  |
| In[22]:= |
| Out[22]= |  |
| In[23]:= |
| Out[23]= |  |
| In[24]:= |
| Out[24]= |  |
| LeastSquares[m,b] | 给出一个最小二乘问题  的解的向量  . |
| In[26]:= |
| Out[26]= |  |
