特殊函数

Mathematica 包括了标准手册中所有的数学物理中常见的特殊函数. 下面将依次讨论各类函数.

应该认识到的一点是,在技术文献中对某个特殊函数常常存在几个矛盾的定义. 因此当使用 Mathematica 中的某一特殊函数时,用户一定要阅读这里给出的定义,确认它正是你想要的.

对特殊函数的某些值,Mathematica 给出精确结果.
In[1]:=
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Out[1]=
这里不知道精确结果.
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Out[2]=
然而,能够求出具有任意精度的数值结果.
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Out[3]=
对特殊函数可以赋以复自变量.
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Out[4]=
特殊函数自动应用于列表中的每个元素.
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Out[5]=
Mathematica 知道特殊函数的解析性质,例如导数.
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Out[6]=
可以使用 FindRoot 求特殊函数的根.
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Out[7]=

Mathematica 中,特殊函数通常能对自变量的任意复值进行计算. 然而,在本教程中给出的定义关系常常仅适用于自变量的某些特殊选择. 在这些情况下,整个函数相应于这些定义关系的"解析延拓". 例如,用积分式表达的函数仅当积分存在时才有效,但函数本身通常能通过解析延拓来定义.

对于如何扩充函数的定义域,一个简单的例子是:考虑由和式 表示的函数,该和仅当 时收敛. 然而,容易解析地证明,对任意 ,整个函数等于 . 使用这个形式,很容易求出函数对任意 的值,只要 .

伽马函数及相关函数

Beta[a,b]欧拉贝塔函数
Beta[z,a,b]不完全贝塔函数
BetaRegularized[z,a,b]正则化的不完全贝塔函数
Gamma[z]欧拉伽马函数
Gamma[a,z]不完全伽马函数
Gamma[a,z0,z1]广义不完全伽马函数
GammaRegularized[a,z]正则化的不完全伽马函数
InverseBetaRegularized[s,a,b]反贝塔函数
InverseGammaRegularized[a,s]反伽马函数
Pochhammer[a,n]Pochhammer 符号
PolyGamma[z]双伽玛函数
PolyGamma[n,z]双伽玛函数 阶导数
LogGamma[z]欧拉 log-gamma 函数
LogBarnesG[z]Barnes G 函数的对数
BarnesG[z]Barnes G 函数
Hyperfactorial[n]超阶乘函数

伽马函数及相关函数.

欧拉伽马函数 Gamma[z] 由积分 定义. 对于正整数 . 可以看作阶乘函数的推广,它对复自变量 也适用.

在一些运算中,特别是数论中,伽马函数的对数经常出现. 对于正实数自变量,其对数值可以通过 Log[Gamma[z]]. 轻松得到. 然而对于复自变量,该式产生伪不连续性. Mathematica 因此另外给出函数 LogGamma[z],它产生具有沿负实轴切割的单个分支线的伽马函数的对数.

欧拉贝塔函数 Beta[a, b].

Pochhammer 符号上升阶乘 Pochhammer[a, n]. 它常常出现在超几何函数的级数展开式中. 注意即使当其定义中出现的伽马函数为无穷大时,Pochhammer 符号也有确定的值.

不完全伽马函数 Gamma[a, z] 由积分 定义. Mathematica 包含有一个一般化的不完全伽马函数 Gamma[a, z0, z1],它由 定义.

另一个不完全伽马函数 则可作为 Gamma[a, 0, z] 被得到.

不完全贝塔函数 Beta[z, a, b] 给出. 注意在不完全贝塔函数中,参数 是积分的上限,作为函数的第一个自变量出现. 而在不完全伽马函数中, 是积分的下限,作为函数的第二个自变量出现.

在某些情况下,计算不完全贝塔和伽马函数本身是不方便的,而代之以计算正则化形式,在这个形式中,用完全贝塔和伽马函数除这些函数. Mathematica 包含正则化的不完全贝塔函数 BetaRegularized[z, a, b],其定义为 ,且考虑奇点情况. Mathematica 还包含正则化的不完全伽马函数 GammaRegularized[a, z],其定义为 ,且奇点情况被考虑.

不完全贝塔和伽马函数及其反函数在统计学中是常见的. 反贝塔函数 InverseBetaRegularized[s, a, b] 是方程 的解. 类似地,反伽马函数 InverseGammaRegularized[a, s] 是方程 的解.

伽马函数的导数常出现在有理级数的求和当中. 双伽玛函数 PolyGamma[z] 是伽马函数的对数的导数,由 给出. 对整数自变量,双伽玛函数满足关系 ,其中 是欧拉常数 (在 Mathematica 中为 EulerGamma), 是调和数.

多伽马函数 PolyGamma[n, z] 给出. 注意双伽玛函数对应于 . 一般形式 阶伽马函数的对数的导数,而非 阶. 多伽马函数满足关系 . PolyGamma[, z] 由任意复数 通过分数阶微积分解析延拓得到.

BarnesG[z]Gamma 函数的推广,由泛函恒等式 BarnesG[z+1]=Gamma[z] BarnesG[z] 定义, 其中对于正数 zBarnesG 的对数的三阶导数是正数. BarnesG 是复平面上的一个整函数.

LogBarnesG[z] 是一个全纯函数,其中延负实轴的分支线满足 Exp[LogBarnesG[z]]=BarnesG[z].

Hyperfactorial[n] 向复平面的推广.

Mathematica 中嵌入了伽马和复伽马函数的许多精确结果.
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这里是一个复平面上的伽马函数的等高线图.
In[4]:=
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Out[4]=

Zeta 函数及相关函数

DirichletL[k,j,s]Dirichlet L-函数
LerchPhi[z,s,a]Lerch 超越函数
PolyLog[n,z]多对数函数
PolyLog[n,p,z]尼尔森广义多对数函数
RamanujanTau[n]Ramanujan 函数
RamanujanTauL[n]Ramanujan Dirichlet L-函数
RamanujanTauTheta[n]Ramanujan theta 函数
RamanujanTauZ[n]Ramanujan Z-函数
RiemannSiegelTheta[t]黎曼-西格尔函数
RiemannSiegelZ[t]黎曼-西格尔函数
StieltjesGamma[n]斯蒂尔吉斯常数
Zeta[s]黎曼 函数
Zeta[s,a]广义黎曼 函数
HurwitzZeta[s,a]Hurwitz 函数
HurwitzLerchPhi[z,s,a]Hurwitz-Lerch 超越函数

Zeta 函数及相关函数.

Dirichlet-L 函数 DirichletL[k, j, s](对于)给出,其中 是模为 、指标为 的 Dirichlet 特征.

黎曼 函数 Zeta[s] () 定义. 具有整数自变量的 函数出现在各种求和和积分的运算中. 对具有整数自变量的 函数,Mathematica 尽可能地给出精确结果.

对任意复数 ,有一个解析延拓. 复自变量的 函数 是数论中素数分布的研究核心. 其中特别重要的是临界线 处的值.

在研究 时,按照 ( 为实数)定义两个黎曼-西格尔函数 RiemannSiegelZ[t]RiemannSiegelTheta[t] 往往带来方便. 注意黎曼-西格尔函数当 为实数时,都取实值.

斯蒂尔吉斯常数 StieltjesGamma[n] 是欧拉常数的推广,它出现在 在极点 处的级数展式中; 的系数是 . 欧拉常数是 .

广义黎曼 函数 Zeta[s, a] 给出,其中 的项被排除.

Hurwitz 函数 HurwitzZeta[s, a] 给出.

Ramanujan Dirichlet L-函数 RamanujanTauL[s]L(s)=sum_(n=1)^infty(tau(n))/(n^s) () 定义,其系数为 RamanujanTau[n]. 与黎曼 函数类似,定义两个函数 RamanujanTauZ[t]RamanujanTauTheta[t] 也会带来方便.

这里是 的数值近似.
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这是一个 Dirichlet L-函数实数部分的三维图形.
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Mathematica 给出 的精确值.
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这是黎曼 函数在复平面上的三维图形.
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这是黎曼 函数在临界线 处的绝对值的图形. 可以看到 函数的前几个零点.
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这是 Ramanujan L 函数在临界线 处的绝对值的图形.
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多对数函数 PolyLog[n, z] 给出. 多对数函数有时称为 Jonquière 函数. 双对数函数PolyLog[2, z] 满足 . 有时称为 Spence 积分. 尼尔森广义多对数函数或称超对数 PolyLog[n, p, z] 给出. 多对数函数出现在基本粒子物理学或代数 K-理论的 Feynman 图积分中.

Lerch 超越函数 LerchPhi[z, s, a] 和多对数函数的推广,由 定义,其中 的项被排除. 许多倒数幂的和式能用 Lerch 超越函数来表示. 例如 Catalan 贝塔函数 可由 来得到.

Lerch 超越函数与统计力学中的费米-狄拉克分布的积分相联系,其关系为 .

Lerch 超越函数也能用来计算数论中的 Dirichlet L-级数. 基本的 L-级数的形式为 ,其中"字符" 是周期为 的整数函数. 这种 L-级数可以写成 Lerch 函数的和,其中 的幂.

LerchPhi[z, s, a, DoublyInfinite->True] 给出双边无穷和 .

Hurwitz-Lerch超越函数HurwitzLerchPhi[z, s, a]HurwitzZeta[s, a] 的推广,其定义为 .

ZetaZero[k] 函数 在临界线上的第  个零点
ZetaZero[k,x0]在高度 以上的第  个零点

函数的零点.

ZetaZero[1] 代表 的第一个非平庸零点.
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这里给出其数值.
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这里给出高度大于15的第一个零点.
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指数积分及相关函数

CosIntegral[z]余弦积分函数
CoshIntegral[z]双曲余弦积分函数
ExpIntegralE[n,z]指数积分 E_n(z)
ExpIntegralEi[z]指数积分
LogIntegral[z]对数积分
SinIntegral[z]正弦积分函数
SinhIntegral[z]双曲正弦积分函数

指数积分及相关函数.

Mathematica 有两种指数积分:ExpIntegralEExpIntegralEi.

指数积分函数 ExpIntegralE[n, z] 定义.

第二个指数积分函数 ExpIntegralEi[z] ()定义,并取积分的主值.

对数积分函数 LogIntegral[z] ()定义,并取积分的主值. 是数论中系数分布研究的核心. 对数积分函数有时也表示为 . 在数论的某些应用中, 被定义为 ,且不取主值. 这一定义与 Mathematica 中使用的定义相差常数 .

正弦和余弦积分函数 SinIntegral[z]CosIntegral[z] 定义. 双曲正弦和余弦积分函数 SinhIntegral[z]CoshIntegral[z] 定义.

误差函数及相关函数

Erf[z]误差函数
Erf[z0,z1]广义误差函数
Erfc[z]余误差函数
Erfi[z]虚数误差函数
FresnelC[z]费涅尔积分 C(z)
FresnelS[z]费涅尔积分
InverseErf[s]反误差函数
InverseErfc[s]反余误差函数

误差函数及相关函数.

误差函数 Erf[z] 是高斯分布的积分,由 给出. 余误差函数 Erfc[z] 简单地给出. 虚数误差函数 Erfi[z] 给出. 广义误差函数 Erf[z0, z1] 由积分 定义. 误差函数在统计学的许多计算中是很重要的.

反误差函数 InverseErf[s] 被定义为方程 关于 的解. 反误差函数出现在统计学中的置信区间的计算以及生成高斯随机数的一些算法中.

与误差函数密切相关的是两个费涅尔积分: 定义的 FresnelC[z] 积分和由 定义的 FresnelS[z] 积分. 费涅尔积分出现在衍射理论中.

贝塞尔及相关函数

AiryAi[z]AiryBi[z]Airy 函数
AiryAiPrime[z]AiryBiPrime[z]Airy 函数的导数
BesselJ[n,z]BesselY[n,z]贝塞尔函数
BesselI[n,z]BesselK[n,z]修正贝塞尔函数
KelvinBer[n,z]KelvinBei[n,z]开尔文函数
KelvinKer[n,z]KelvinKei[n,z]开尔文函数
HankelH1[n,z]HankelH2[n,z]汉克尔函数
SphericalBesselJ[n,z]SphericalBesselY[n,z]
球贝塞尔函数
SphericalHankelH1[n,z]SphericalHankelH2[n,z]
球汉克尔函数
StruveH[n,z]StruveL[n,z]Struve 函数 和修正 Struve 函数

贝塞尔及相关函数.

贝塞尔函数 BesselJ[n, z]BesselY[n, z] 是微分方程 的两个线性独立解. 对于整数 处是正则的,而 处是对数发散的.

贝塞尔函数出现在柱对称系统的微分方程的求解当中.

常常称为第一类贝塞尔函数,或简称为贝塞尔函数. 被称为第二类贝塞尔函数威伯函数纽曼函数 (记为 ).

汉克尔函数 (或称为第三类贝塞尔函数) HankelH1[n, z]HankelH2[n, z] 根据关系 给出贝塞尔微分方程的另一种形式.

球贝塞尔函数 SphericalBesselJ[n, z]SphericalBesselY[n, z],以及球汉克尔函数 SphericalHankelH1[n, z]SphericalHankelH2[n, z] 出现在球对称波动现象的研究中. 这些函数通过 与普通函数相联系,这里 可以是 ,或者 . 对于整数 ,使用 FunctionExpand 可以将球面贝塞尔函数展开成普通函数的形式.

修正贝塞尔函数 BesselI[n, z]BesselK[n, z] 是微分方程 的解. 对于整数 处是正则的;而 处总是对数发散. 有时被称为双曲贝塞尔函数.

特别在电子工程中,人们常常要定义开尔文函数 KelvinBer[n, z]KelvinBei[n, z]KelvinKer[n, z]KelvinKei[n, z]. 这些函数通过 与普通贝塞尔函数相联系.

Airy 函数 AiryAi[z]AiryBi[z] 是微分方程 的两个独立解 . 当 趋向于正无穷大时, 趋向于0,而 无限增大. Airy 函数与1/3整数阶修正贝塞尔函数相关. Airy 函数常作为边界值问题的解出现在电磁理论和量子力学中. 在许多情况下,也出现 Airy 函数的导数 AiryAiPrime[z]AiryBiPrime[z].

Struve 函数 StruveH[n, z] 出现在对整数 的非齐次贝赛尔方程 的解中. 这个方程的通解由贝塞尔函数的线性组合加 Struve 函数 构成. 修正 Struve 函数 StruveL[n, z] 以普通Struve 函数的形式由 给出. Struve 函数特别出现在电磁理论中.

这是 的图形. 这是一端悬挂的理想化的链条摆动时形成的曲线.
In[16]:=
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对半整数阶的贝塞尔函数 Mathematica 生成明确的公式.
In[2]:=
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Out[2]=
这里画出的 Airy 函数的图形给出一个粒子当势能由左至右线性增大时的量子力学振幅. 该振幅在经典的不能进入区域(图形右部)指数地衰减.
In[17]:=
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BesselJZero[n,k]贝塞尔函数 的第  个零点
BesselJZero[n,k,x0]大于 的第 个零点
BesselYZero[n,k]贝塞尔函数 的第  个零点
BesselYZero[n,k,x0]大于 的第 个零点
AiryAiZero[k]Airy 函数 的第  个零点
AiryAiZero[k,x0]小于 的第 个零点
AiryBiZero[k]Airy 函数 的第  个零点
AiryBiZero[k,x0]小于 的第  个零点

贝塞尔和 Airy 函数的零点.

BesselJZero[1, 5] 表示 的第5个零点.
In[18]:=
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Out[18]=
这里给出其数字值.
In[19]:=
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Out[19]=

勒让德函数及相关函数

LegendreP[n,z]第一类勒让德函数
LegendreP[n,m,z]第一类缔合勒让德函数
LegendreQ[n,z]第二类勒让德函数
LegendreQ[n,m,z]第二类缔合勒让德函数

勒让德函数及相关函数.

勒让德函数及缔合勒让德函数满足微分方程 . 第一类勒让德函数, LegendreP[n, z]LegendreP[n, m, z],当 为整数时,化为勒让德多项式. 第二类勒让德函数LegendreQ[n, z]LegendreQ[n, m, z] 给出微分方程的第二个线性无关解. 对于整数 ,它们在 处有对数奇点. 给出微分方程在 时的解.

勒让德函数出现在量子力学散射过程的研究中.

LegendreP[n,m,z] or LegendreP[n,m,1,z]
包含 的第1型函数
LegendreP[n,m,2,z]包含 的第2型函数
LegendreP[n,m,3,z]包含 的第3型函数

勒让德函数的类型. 对 LegendreQ 存在类似的类型.

第1型勒让德函数第2型勒让德函数的符号形式不同,但有相同的数字值. 它们有从 和从 的分支切割线. 第3型勒让德函数,有时记为 ,有从 的单一分支切割线.

在具有环形对称性的系统研究中出现的圆环函数,能用勒让德函数 来表示.

圆锥函数能用 来表示.

当使用 为整数的函数 LegendreP[n, x]时,将得到勒让德多项式. 当 为任意复数时,一般得到勒让德函数.

用同样的方法,在 GegenbauerC 等等的函数中,指标变量取任意复数就能得到盖根堡函数、切比雪夫函数、厄米函数、雅可比函数拉盖尔函数. 然而不同于缔合勒让德函数,不需要区分这些函数的不同类型.

超几何函数及其推广

Hypergeometric0F1[a,z]超几何函数
Hypergeometric0F1Regularized[a,z]正则化超几何函数
Hypergeometric1F1[a,b,z]库默尔合流超几何函数
Hypergeometric1F1Regularized[a,b,z]正则化合流超几何函数
HypergeometricU[a,b,z]合流超几何函数
WhittakerM[k,m,z] WhittakerW[k,m,z]
惠特克函数 and
ParabolicCylinderD[,z]抛物柱面函数

合流超几何函数及相关函数.

但目前为止,我们所讨论的特殊函数多数都能被看作合流超几何函数 Hypergeometric1F1[a, b, z] 的特殊情形.

合流超几何函数可由级数展开式 中获得. 当 均为整数时,会得到一些特殊结果. 如果 ,并且 ,该级数产生一个有限项的多项式.

为0或负整数时, 自身无穷大. 然而由 给出的正则化合流超几何函数Hypergeometric1F1Regularized[a, b, z] 在任何情况下都有有限值.

可由 中获得的函数有贝塞尔函数、误差函数、不完全伽马函数以及厄米和拉盖尔多项式.

函数 有时记为 . 它常被称为库默尔函数.

函数可以写成积分表达式 .

合流超几何函数是库默尔微分方程 在边界条件为 时的一个解.

函数 HypergeometricU[a, b, z] 给出库默尔方程的第二个线性无关解. 对于 ,该函数的行为在 较小时很像 . 它有一条延复平面 的复实轴的分支线.

函数 的积分表示式为 .

一样, 有时称为库默尔函数. 函数有时记为 .

惠特克函数 WhittakerM[k, m, z]WhittakerW[k, m, z] 给出正态化的库默尔微分方程(或称为惠特克微分方程)的一对解. 惠特克函数 通过 相关. 第二个惠特克函数 服从同一关系,只要由 代替 .

抛物柱面函数 ParabolicCylinderD[, z] 通过 与厄米函数相关.

库伦波函数也是合流超几何函数的特殊情形. 库伦波函数给出点核的库伦势中的径向薛定谔方程的解. 正则库伦波函数由 给出,其中 .

合流超几何函数的其它特殊情形包括 Toronto 函数 Poisson-Charlier多项式 Cunningham 函数 Bateman 函数 等.

合流超几何函数经常出现的一个极限形式是 Hypergeometric0F1[a, z]. 该函数是由极限 得到的.

函数有级数展开式 ,并且满足微分方程 .

第一类贝塞尔函数可以用 函数来表示.

Hypergeometric2F1[a,b,c,z]超几何函数
Hypergeometric2F1Regularized[a,b,c,z]
正则化的超几何函数
HypergeometricPFQ[{a1,...,ap},{b1,...,bq},z]
广义超几何函数
HypergeometricPFQRegularized[{a1,...,ap},{b1,...,bq},z]
正则化的广义超几何函数
MeijerG[{{a1,...,an},{an+1,...,ap}},{{b1,...,bm},{bm+1,...,bq}},z]
梅杰 G 函数
AppellF1[a,b1,b2,c,x,y]阿佩尔双变量超几何函数

超几何函数及其推广.

超几何函数 Hypergeometric2F1[a, b, c, z] 有级数展开式 . 该函数是超几何微分方程 的一个解.

超几何函数也可以写成积分形式:.

超几何函数有时也记作 ,并称为高斯级数库默尔级数.

勒让德函数和给出其它正交多项式的推广的函数可以用超几何函数表示. 完全椭圆积分也能用 函数表示.

黎曼 P 函数也是一个 函数,它给出黎曼微分方程的解.

广义超几何函数Barnes 扩充超几何函数 HypergeometricPFQ[{a1, ..., ap}, {b1, ..., bq}, z] 可展成级数 .

梅杰 G 函数 MeijerG[{{a1, ..., an}, {an+1, ..., ap}}, {{b1, ..., bm}, {bm+1, ..., bq}}, z] 是由围道积分表示式 定义,其中积分的围道设在 的极点和 的极点之间. MeijerG 是一个非常一般的函数,它的特殊情形包括了前几节讨论的大多数函数.

阿佩尔双变量超几何函数 AppellF1[a, b1, b2, c, x, y] 有级数展开式 . 该函数出现在例如三次多项式的任意次幂的积分中.

q 级数及相关函数

QPochhammer[z,q] Pochhammer 符号 TemplateBox[{z, q}, QPochhammer2]
QPochhammer[z,q,n] Pochhammer 符号 TemplateBox[{z, q, n}, QPochhammer]
QFactorial[z,q]阶乘的 形式
QBinomial[n,m,q]二项式系数的 形式
QGamma[z,q]欧拉伽马函数 TemplateBox[{z, q}, QGamma] 形式
QPolyGamma[z,q] 双伽玛函数
QPolyGamma[n,z,q] 双伽玛函数的 阶导数
QHypergeometricPFQ[{a1,...,ap},{b1,...,bq},q,z]
基本超几何级数

级数及相关函数.

Pochhammer 符号是 -差分积分中的自然对象,其功能与幂函数在-差分积分或递减阶乘在有限差分积分中的功能相同.

有限 Pochhammer 符号 TemplateBox[{z, q, n}, QPochhammer] 定义为乘积 . 其极限 定义了当 TemplateBox[{q}, Abs]<1 时的 Pochhammer 符号 TemplateBox[{z, q}, QPochhammer2]. Pochhammer 符号 TemplateBox[{z, q, n}, QPochhammer] 是 Pochhammer TemplateBox[{a, n}, Pochhammer] 符号的 形式. 其在极限 TemplateBox[{a, n}, Pochhammer]=lim_(q->1) TemplateBox[{{q, ^, a}, q, n}, QPochhammer]/(1-q)^n 中被复原.

阶乘 TemplateBox[{z, q}, QFactorial] 定义为 TemplateBox[{q, q, z}, QPochhammer]/(1-q)^z,它是阶乘函数的 形式,当 时复原. 阶乘和 伽马函数之间的关系TemplateBox[{z, q}, QFactorial]=TemplateBox[{{z, +, 1}, q}, QGamma] 与阶乘和欧拉伽马函数的关系 z!=TemplateBox[{{z, +, 1}}, Gamma] 具有相同的泛函形式.

双伽玛函数定义为 伽马函数  TemplateBox[{z, q}, QPolyGamma]=1/(TemplateBox[{z, q}, QGamma])(partialTemplateBox[{z, q}, QGamma])/(partialz) 的对数导数. -多伽马函数 TemplateBox[{n, z, q}, QPolyGamma3] 定义为 双伽玛函数关于 阶导数.

基本超几何级数是广义超几何级数的 形式. 它作为高斯超几何级数的 形式由 Heine 引入,出现在组合数学中.

乘积对数函数

ProductLog[z]乘积对数函数

乘积对数函数.

乘积对数函数给出 中关于 的解. 该函数可看作是对数函数的推广. 它能用于表示各种超越方程的解. 计算不同的定向树的树生成函数与乘积对数函数的关系是 .

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