回転楕円体関数
SpheroidalS1[n,m, ,z]およびSpheroidalS2[n,m,,z] |
| 放射状回転楕円体関数  および  |
| SpheroidalS1Prime[n,m,,z]およびSpheroidalS2Prime[n,m,,z] |
| 放射状回転楕円体関数の z 次導関数 |
| SpheroidalPS[n,m,,z]およびSpheroidalQS[n,m,,z] |
| 角形回転楕円体関数  および  |
| SpheroidalPSPrime[n,m,,z]およびSpheroidalQSPrime[n,m,,z] |
| 角形回転楕円体関数の z 次導関数 |
| SpheroidalEigenvalue[n,m,] | 次数 n で位数 m の回転楕円体固有値 |
回転楕円体関数
放射状回転楕円体関数のSpheroidalS1[n, m, , z]とSpheroidalS2[n, m, , z]，それに角回転楕円体関数のSpheroidalPS[n, m, , z]とSpheroidalQS[n, m, , z]は，球状領域における波動方程式の解に見られるものである．どちらの型の関数も，方程式
の解となる．この方程式は，
が，SpheroidalEigenvalue[n, m, ]によって与えられる回転楕円体固有値の場合にのみ，正規化可能な解を持つ．回転楕円体関数は，フーリエ(Fourier)変換の有限な相似形の固有関数としても現われる．
SpheroidalS1とSpheroidalS2は，事実上，球状ベッセル(Bessel)関数 
と 
の回転楕円体の相似形であるのに対し，SpheroidalPSとSpheroidalQSはルジャンドル(Legendre)関数 
と 
の回転楕円体の相似形である．
のときは扁長な回転楕円体関数となり，
のときは偏円の回転楕円体関数となる．
| | | | |
 |  |  |  |  | angular prolate |
 |  |  |  |  | radial prolate |
 |  |  |  |  | angular oblate |
 |  |  |  |  | radial oblate |
諸文献では回転楕円体関数のさまざまな正規化が使われている．Mathematica ではMeixner-Schäfkeスキームが使われている．
角回転楕円体関数はルジャンドル(Legendre)関数の変形と見ることができる．
| Out[1]= |  |
次は，さまざまな長球形パラメータについて角回転楕円体関数をプロットする．
| Out[2]= |  |
の整数についての角楕円体回転関数
は，帯域が限定されたフーリエ(Fourier)変換の固有関数である．
| Out[3]= |  |
マシュー関数は，回転楕円体関数の特殊形である．
の角回転楕円関数はマシューの角関数を与える．
| Out[4]= |  |
