回転楕円体関数

SpheroidalS1[n,m,,z]およびSpheroidalS2[n,m,,z]
放射状回転楕円体関数 および
SpheroidalS1Prime[n,m,,z]およびSpheroidalS2Prime[n,m,,z]
放射状回転楕円体関数の z 次導関数
SpheroidalPS[n,m,,z]およびSpheroidalQS[n,m,,z]
角形回転楕円体関数 および
SpheroidalPSPrime[n,m,,z]およびSpheroidalQSPrime[n,m,,z]
角形回転楕円体関数の z 次導関数
SpheroidalEigenvalue[n,m,]次数 n で位数 m の回転楕円体固有値

回転楕円体関数

放射状回転楕円体関数のSpheroidalS1[n, m, , z]SpheroidalS2[n, m, , z],それに角回転楕円体関数のSpheroidalPS[n, m, , z]SpheroidalQS[n, m, , z]は,球状領域における波動方程式の解に見られるものである.どちらの型の関数も,方程式の解となる.この方程式は, が,SpheroidalEigenvalue[n, m, ]によって与えられる回転楕円体固有値の場合にのみ,正規化可能な解を持つ.回転楕円体関数は,フーリエ(Fourier)変換の有限な相似形の固有関数としても現われる.

SpheroidalS1SpheroidalS2は,事実上,球状ベッセル(Bessel)関数 の回転楕円体の相似形であるのに対し,SpheroidalPSSpheroidalQSはルジャンドル(Legendre)関数 の回転楕円体の相似形である.のときは扁長な回転楕円体関数となり,のときは偏円の回転楕円体関数となる.

関数
z
範囲
名前
angular prolate
radial prolate
angular oblate
radial oblate

諸文献では回転楕円体関数のさまざまな正規化が使われている.Mathematica ではMeixner-Schäfkeスキームが使われている.

角回転楕円体関数はルジャンドル(Legendre)関数の変形と見ることができる.
In[1]:=
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Out[1]=
次は,さまざまな長球形パラメータについて角回転楕円体関数をプロットする.
In[2]:=
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Out[2]=
の整数についての角楕円体回転関数 は,帯域が限定されたフーリエ(Fourier)変換の固有関数である.
In[3]:=
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Out[3]=

マシュー関数は,回転楕円体関数の特殊形である.

の角回転楕円関数はマシューの角関数を与える.
In[4]:=
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Out[4]=
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