 |
导数的表示
Mathematica 的导数运算本质上与标准数学中的导数是一样的. 然而，通常的数学符号隐藏了许多细节. 要理解 Mathematica 中导数如何被表示，必须考察这些细节.
标准的数学符号 
实际上是 
的简写，其中 
是"哑变量". 类似地，
是 
的简写. 如符号 
所示，对象 
实际上可以看作"纯函数"，在参数 
的特定选择下，计算其值. 用户可以认为微分运算是作用于函数 
，给出称为 
的新函数.
对于多变量函数，简单的撇号表示法已不适用了. 例如不能区分 
是代表 
还是 
，而几乎对任何 
，二者有完全不同的值. 这里 
又是一个哑变量，其唯一的目的是显示 
关于哪个"位置"被微分.
在 Mathematica 中，如在某些数学分支中一样，把微分考虑为作用于函数，而不是表达式上是方便的. 我们需要取函数 
，给出导函数 
的运算. 这种作用于函数，而不是变量的运算在数学中称为算符.
Mathematica 中的对象 
实际上是对函数 
使用微分算符的结果. 
的完全形式是 Derivative[1][f]. Derivative[1] 是 Mathematica 的微分算符.
算符 Derivative[n1, n2, ...] 的自变量指定关于函数的每个"位置"微分的次数. 通过使用代表微分的算符，Mathematica 可以避免引入任何"哑变量".
| In[1]:= |
Out[1]//FullForm= | |
 | |
| In[2]:= |
Out[2]//FullForm= | |
 | |
| In[3]:= |
Out[3]//FullForm= | |
 | |
| In[4]:= |
| Out[4]= |  |
| In[5]:= |
Out[5]//FullForm= | |
 | |
| In[6]:= |
Out[6]//FullForm= | |
 | |
| In[7]:= |
Out[7]//FullForm= | |
 | |
| In[8]:= |
Out[8]//FullForm= | |
 | |
| In[9]:= |
| Out[9]= |  |
| In[10]:= |
Out[10]//FullForm= | |
 | |
对象 
的行为本质上与 Mathematica 的其它任何函数是相同的. 可以使用任何自变量计算该函数，并且能使用标准的 Mathematica 
运算替换自变量.（如果在微分过程中引入明显的哑变量，则不可能做到这一点.）
| In[11]:= |
Out[11]//FullForm= | |
 | |
| In[12]:= |
| Out[12]= |  |
| In[13]:= |
| Out[13]= |  |
| In[14]:= |
| In[15]:= |
| Out[15]= |  |
| In[16]:= |
| Out[16]= |  |
| In[17]:= |
| Out[17]= |  |
函数 
完全由函数 
的形式决定. 然而 
的定义并不立即用于表达式 
. 问题是 
有完全形式 Derivative[1][f][x]，它根本不包含明显与 
匹配的东西. 此外，很多情况下，有函数 
本身的表示法是方便的，不必将它应用到任何自变量.
Mathematica 所作的事情是尽力寻求代表对像 
的纯函数的显式形式. 当 Mathematica 得到如 Derivative[1][f] 这样的表达式时，有效地把它转化为显式形式 D[f[#], #]&，然后计算导数. 在显示形式下，Mathematica 能直接使用给对象 
定义的值. 如果 Mathematica 成功地求出导数，它返回显式的纯函数结果. 如果求导不成功，它保留导数为原来的 
形式.
| In[18]:= |
| Out[18]= |  |
| In[19]:= |
| Out[19]= |  |
