指定导数
函数 FindRoot 有一个 
选项；函数 FindMinimum、FindMaximum 和 FindFit 有一个 Gradient 选项；而"牛顿" 方法有一个方法选项 
. 所有这些导数都用同样的基本结构来指定. 下面是用来指定导数计算方法的方式总结.
| Automatic | 寻找函数的一个符号化导数，当符号化导数无法找到时，则用有限差分近似 |
| Symbolic | 与 Automatic 相同，但在使用有限差分时，给出一个警告信息 |
| FiniteDifference | 使用有限差分对导数进行近似 |
| expression | 使用给定的 expression 及变量的局部数值值来计算导数 |
计算梯度，雅可比，和Hessian导数的方法.
对于一个导数的基本指定就是用来计算它的方法. 然而，所有导数也都采用选项. 这些可以通过使用列表 
来指明. 下面是一个导数选项的总结.
计算梯度、雅可比和Hessian导数的选项.
我们将使用一些例子来说明以上这些方法和选项如何配合使用.
这里定义了一个函数，唯一的目的是只对数值变量值进行计算.
如果只使用 Method->"Newton"，FindMinimum 会释放一条 lstol 消息，这是因为，由于缺乏良好的导数信息，它不能够足够精确地解出极小值.
下面介绍如何使用梯度选项来指定导数.
这里使用梯度的符号表达式来计算
的极小值.
| Out[4]= |  |
符号化的导数不会总是有的. 如果在有限差分上，您需要更高的准确度，您可以从默认的值1增加差分阶数，但代价是额外的函数计算.
这里通过使用二阶有限差分计算梯度的方法来计算
的极小值.
| Out[5]= |  |
请注意，函数计算的次数要高得多，因为函数计算被用来计算梯度，进而近似计算Hessian. （Hessian是使用有限差分计算的，因为从提供的信息看，我们没有符号化的表达式可以用来计算. ）
所提供的一些关于函数，梯度，和Hessian计算次数的信息是相当有用的. 是 EvaluationMonitor 选项使之成为可能. 下面这个例子，只是合计各种类型计算的次数. （绘图时用 Reap 和 Sow 收集那些执行过计算的值. ）
这里在计算极小值的同时用计数器来记录步骤数目和函数，梯度，以及Hessian的计算次数.
| Out[6]= |  |
在决定什么方法和/或方法参数对于具有相似特点的一类问题可能是最成功的时候，使用这种诊断方法会是非常有益的.
当 Mathematica 能够访问函数的符号化结构时，它会自动对函数及其导数做结构分析并在适当的情况下，使用 SparseArray 对象来代表导数. 由于随后的数值线性代数可以使用稀疏结构，这可以对搜索的整体效率产生深刻的影响. 当 Mathematica 不能做结构分析时，一般来说，它必须假定该结构是稠密的. 但是，如果您知道该导数的稀疏结构是什么，您可以使用 
方法选项对它进行指定，从而在导数计算（使用有限差分，计算的次数可以显著地降低）和随后的线性代数计算中，获得巨大的效率优势. 这个问题对于使用向量值的变量工作时尤为重要. 一个说明这方面问题的好例子是扩展的 Rosenbrock 问题，它有一个非常简单的稀疏结构.
这里用
程序包，获得随时可以用
FindRoot 求解的符号化表示的具有1000个变量的扩展的 Rosenbrock 函数.
Out[7]//Short= |
| |  |
| Out[8]= |  |
对于一个形式像这样简单的函数来说，很容易写出函数的向量形式，这可以比符号化表示的形式更快地计算出来，即使是使用自动编译.
这里定义了一个扩展的 Rosenbrock 函数的向量形式，它可以非常快地进行计算.
Out[10]//Short= |
| |  |
下面在求解问题的计算中用了一个向量变量和向量函数.
| Out[11]= |  |
通过函数来求解，在函数计算上很快，但总体上却较慢。原因是，由于 
模式使得符号化分析不透明，雅可比必须使用有限差分进行计算. 这倒不是说有限差分多么慢，而是它需要做100次函数计算，以获得雅可比的所有列. 如果对结构有了解，这可以减少到两次计算就可得到雅可比. 对于这个函数，雅可比的结构很简单.
| Out[12]= |  |
这里在了解实际雅可比结构的情况下，求解该问题，并呈现出对成本的显著节约.
| Out[13]= |  |
当一个稀疏结构给定时，我们也可以由符号化表达式计算得到值，这些值的计算对应于稀疏结构模板中给出的位置. 请注意，该值必须直接对应于 SparseArray 中排序给出的位置 （使用 ArrayRules 可以看到排序）. 获得一个一致的指标排序的一个方法是对矩阵进行两次转置，这可以产生一个指标按字典顺序排序的 SparseArray.
| Out[14]= |  |
这里定义了一个函数，它将返回在雅可比中对应于非零结构矩阵中指标位置的非零值.
| Out[16]= |  |
在这种情况下，使用稀疏雅可比没有显著地更快，因为该雅可比如此稀疏，以至于只要两次函数计算就可以找到它的有限差分近似；也因为该问题在接近极小值处定义得足够好，以至于雅可比的更高的准确度并没有带来任何显著的差异.
而不是 
指定来防止符号化的计算
，SparseArray 被当作一个 Pattern 类型的模版，正如输出形式中所显示的那样.） 
