2Dの弧長 のオイラー方程式は直線になる：

単純な振り子はラグランジアンである：

振り子方程式の解は，関数JacobiAmplitudeを使って表すことができる：

2Dにおける質点のラグランジアンには従属変数が2つあり，ニュートン方程式となる：

2Dにおける中心ポテンシャルのある質点のラグランジアン：

2次以上の導関数は被積分関数に含まれることがある．より高次の項を使った，ばね上の運動のラグランジアンである：

被積分関数 にはいくつかの独立変数がある：

オイラー方程式はラプラス方程式を生成する：

被積分関数 のオイラー方程式：

模範的な解：

検証する：

最速降下曲線問題とは最も速い速度で降下するときの曲線を求めるものである．質点が弧長 を落下するのにかかる時間は である．もし が落下開始点からの高さの減少を観測すると，速度 は以下を満足する：

2つの点を結ぶ曲線の方程式である．ここで，高い点から静止状態で落下する質点が低い点に到達するのにかかる時間は最も短い：

最速降下曲線問題の解が循環的であることは有名である：

振動する弦のラグランジアンは，従来の波動方程式を生成する：