计算不定积分：

通过微分验证答案：

使用 intt 输入模板 并用 在字段间移动：

包括不定积分中的积分常数:

计算有限区间上的定积分：

无限区间：

双无穷区间：

使用 dintt 输入模板e 并用 在期间移动：

对具有符号参数的函数求积分：

只对某些参数值收敛的积分：

指定其他使用的假设：

多变量积分：

多重积分，最后是 x 积分：

在 StandardForm 中，微分 y 在 x 之前：

可视化积分域上的函数：

在标准区域上求积分：

字符 ∈ 可按 el 或 \[Element]输入：

使用 在下标中输入区域规范 ：

使用 rintt 输入模板 并用 在其间移动：

形式积分：

向量值和数组值函数的积分：

如果符号积分失效，自动调用 NIntegrate：

一些基本积分：

产生带有积分常数的答案：

三角函数的积分：

通过微分验证之前的答案：

创建一个格式良好的积分表格：

有理函数总可以被积分成解析式：

某些时候它们涉及 Root 对象的和：

一般初等函数的积分：

Integrate 在适用的情况下返回复平面有效的反导数：

在积分表格中找到的常用反导数是 ：

这是 实数的有效反导数：

在实轴上，两个积分有同样的实数部分：

但是当 为负，在任何区间虚部差 ：

相似的积分可导致不同类型的函数：

许多积分可以用特殊函数，例如： Erf 完成：

Log 的生成，例如： PolyLog 和 LogIntegral：

超几何函数，例如：Hypergeometric2F1：

创建一个特殊函数积分的良好格式表格：

积分变量不必是单个符号：

积分多项式：

积分符号多项式：

在符号范围上积分：

有理函数：

代数函数：

三角函数：

指数和对数函数：

双曲三角函数：

积分带有垂直渐近线的函数：

这可以看作是在更小区间的积分结果的极限：

计算两个垂直渐近函数的积分：

这个可以看作是在更小区间积分结果的多变量极限：

无穷区间上的积分可看作是有限域上积分的极限：

前面的是当从 到 的积分， 的极限：

实数上的积分：

它是有限积分的双变量极限：

当有参数时，会报告确保收敛的条件：

初等函数的积分会产生特殊函数的答案：

创建特殊函数正实数上定积分的格式化表格：

沿复轴积分:

沿复平面分段线性轮廓：

沿着复平面的圆形轮廓：

绘制积分的函数和路径：

计算 Piecewise 函数的不定积分：

在这种情况下，积分的导数等于原始函数：

积分不连续的 Piecewise 函数：

除了在不连续点，g 的导数等于 f：

可视化函数和它的反导数：

积分分段定义的函数：

积分无穷情况的分段函数：

到处定义导数，maxInt 的导数等于原始函数：

然而，maxInt 自己是不连续的：

计算 Piecewise 函数的定积分：

计算带有变端点的积分：

可视化函数和它的积分：

计算分段函数，例如：Floor 的分段函数的定积分：

PrimePi：

分段函数的组合：

计算有变上限的定积分:

有无限多个情况的函数：

使用 Assumptions 积分有限多的情况：

积分是积分域上限的连续函数：

广义函数的积分：

广义函数的不定积分返回广义函数：

嵌套积分：

在实数子集上积分广义函数：

积分插值函数：

测试 g 是在 x==3.5 上的正确反导数：

可视化反导数：

计算函数的第二个反导数：

计算第三个反导数：

积分关于两个不同变量的函数：

混合偏导给出原始函数：

为单个积分产生积分常量：

产生关于同样变量的嵌套积分常量：

这是被积数的最常见的第二个反导数：

产生关于两个变量嵌套积分的两个积分函数：

这是被积数最常见的混合反导数：

从 到 长方形上的积分：

相等性：

反序积分：

组合不定和定积分：

计算矩形区域上有理双积分：

以下给出阴影区域的体积：

计算长方形区域上的三角双积分：

正体积（黑灰）和负的（浅蓝）是一样多的：

计算两曲线间多项式双积分：

可视化积分域和对应于积分的体积：

计算矩形棱镜上的三重积分：

可视化积分区域：

积分五维正方体的多变量函数：

在四维单位球上积分 ：

查找 CoordinateChartData 中超球面坐标的坐标范围：

查找体积因子：

积分：

单位圆盘上常数的积分：

以排版格式输入积分：

等效地，使用 Boole 在长方形区域上积分并限制在圆盘：

单位圆盘上的积分：

使用 Boole 的同样积分表达：

同样的积分简化为依赖之前变量的带有边界的迭代积分：

绘制积分区域上的被积函数：

使用区域符号表示普通的定积分:

比较列表符号：

用符号端点，产生的假设使得区域不退化：

在单位圆周上求积分：

使用极坐标表示作为一维积分的同样积分：

在半径为 的球面上求积分：

在有限点集上进行积分：

给出的区域可以是不等式的逻辑组合：

定义区域为 ImplicitRegion 并直接在区域上积分：

这些积分是相等的：

可视化积分域：

由不等式定义的三维区域上的积分：

使用 RegionPlot3D 可视化三维区域：

立体锥上的积分：

可视化积分域：

对有参数的函数积分，得到分段结果：

有无穷多个分量的区域：

尽可能的计算涉及未知函数的积分：

关于端点的微分，产生微积分的基本理论：

广义化：

可以计算符号积分关于参数的微分：

关于参数的微分出现在被积函数和端点:

使用 Integrate 的 Inactive 格式:

微分：

阐明不定积分恒等：

从非活动表单验证恒等：

阐明积分符号下微分的基本交换技巧：

计算积分的 LaplaceTransform：

默认情况下，会在保证的收敛的参数上产生条件：

有 Assumptions，在给定假设下得出有效结果：

手动指定 Assumptions 验证在自动生成条件之外的值：

该积分对于纯虚数 也收敛：

指定假设条件来计算一个分段的不定积分：

默认情况下，单变量定积分在确保收敛的参数上产生条件：

产生没有条件的结果：

使用 GenerateConditions->False 加速积分：

默认情况下，返回特殊的反导数：

指定 GeneratedParameters 的值获取一般反导数：

每个不定积分产生一个参数:

如果输入的表达式已经包含生成的参数，则会使用下一个可用的下标：

对于多个变量的嵌套积分，反导数包含任意函数：

这是被积函数最常见的反导数：

GeneratedParameters 的值被应用于每个生成参数的索引：

值可以是纯函数：

None 值禁用产生参数：

普通的黎曼定积分是发散的：

柯西主值积分是有限的：

该值是删除关于奇点对称区域的极限：

普通 Riemann 定积分是发散的：

正则化在 处的发散：

常函数 的积分 是高度为 ，宽度为 长方形的符号面积：

可视化两个长方形:

分段常函数的积分 是由图定义的长方形符号面积的和：

可视化长方形：

一般函数的积分 是图和水平轴间的符号面积：

通过考虑由图定义的矩形，这个与分段常数情况相关:

对于在区间 [0,2]， n5 的长方形如下：

这些矩形的面积定义黎曼和，它逼近曲线下的面积：

使用 DiscreteLimit 获取精确答案，当 给出与 Integrate 一样的答案：

可视化该函数的进程以及其他三个：

微积分的基本定理将函数与从固定下限到可变上限的积分联系起来：

考虑该格式从 到 的定积分：

微积分的基本定理表述 ：

这可以从导数的极限定义中看出：

注意 是一个面积，其包含高度为 和宽度为 的长方形加上一个小的校正，当 消失，如下表格所示，其中，：

因此，极限可以几何上等价于 ，如下面的可视化所示：

积分带有 Interpolation 的数据的离散集合：

计算 到 的 曲线下的面积：

求从 到 的曲线 下的面积：

求包括在 和 -轴间的总面积：

总面积由绝对值给定：

等价地计算为顶部和底部间差的两个积分的和：

计算 到 ， 和 之间的面积：

求由 和 包围的面积：

因为 ， 会在兴趣区间中 之上，并且面积相等：

可视化兴趣区域和两个函数：

计算由 和 包围的面积：

通过积分整个区间差异的绝对值求面积：

可视化两个函数及其间的面积：

使用绘图将积分拆分为两个等效积分，没有绝对值：

为了计算由 、 和 包围的面积，首先求交叉点：

在包含点的区域上可视化三条曲线：

从图中，很清楚 是在线 之上，其他两条曲线之下：

面积可用两个积分，每个”顶部函数“ 的一个来求：

这个可以使用 Min 简化为单个积分：

比较由 Area 返回的答案：

计算 的 关于 轴旋转包含的体积：

可视化固体：

使用圆柱壳求当 关于 轴旋转包围的面积，其中，：

可视化固体，在 添加帽子：

求关于 轴旋转介于 和 之间区域形成的区域体积：

求曲线的相交点：

在 的两个值之间， 在 之上：

可视化体积：

积分高度为 ，周长为 的圆柱壳，求体积：

确定沿 轴旋转，其中 ， 之上， 之下的区域体积：

求曲线的交叉，在 范围添加约束：

介于两点之间， 值的相关范围：

可视化体积：

积分面积为 的垫圈求体积：

计算当 关于 轴旋转的曲面面积，其中 ：

应用每条无限小宽度的公式：

宽度乘以每个圆周长 ，并积分：

求当 关于 轴旋转的面积，其中，-：

每条的无限小宽度由以下给出：

宽度乘以周长 并积分产生的结果：

确定当 关于线 旋转的表面积，其中，：

每条的无限小宽度由以下给出：

因为问题中的曲线 ，每条有半径 和宽度 ：

求值的数值近似：

使用基于线 ， 的修改的圆柱坐标可视化曲面：

计算图 的弧长，从 到 ：

把公式应用到无限小的弧长：

积分求弧长：

比较由 ArcLength 返回的答案：

计算图 的弧长，从 到 ：

把公式应用到无限小的弧长：

积分求弧长：

与由 ArcLength 返回的答案比较：

参数定义圆的长度：

相关的参数范围是 到 ：

无穷小弧长是常数：

积分找到总弧长：

比较由 ArcLength 返回的答案：

3D 参数定义椭圆的长度：

可视化椭圆：

无限小弧长是非常数：

积分球总弧长：

比较由 ArcLength 返回的答案：

求在长方形 上的 的曲面积：

把公式应用到图的无限小曲面积：

积分求弧长：

比较由 Area 返回的答案：

求曲面 的面积，其中，：

该曲面是一个环面：

把公式应用到参数曲面的无限小曲面：

积分求总的曲面积：

比较由 Area 返回的答案：

求以下参数区域的体积，其中，，：

该区域是固体环面：

计算雅可比行列式：

积分以求体积：

比较由 Volume 返回的答案：

求以下参数区域的体积，其中，， 和 ：

该区域是椭圆体：

计算雅可比行列式：

积分求体积：

比较由 Volume 返回的答案：

计算在半长轴为 和 原点为中心的椭圆上的 的线积分 ：

参数化椭圆：

使用 进行积分：

比较椭圆上的直积分：

在以下参数曲线上计算 的闭合线积分 ：

曲线形成一个无限图，从红色到紫色，如下图所示：

定义向量场 ：

使用定义 执行计算：

要计算顶点为 、 和 的三角形上的 ∫x⁴dx+x yy，先定义相关向量场：

使用分段线性参数化对三角形进行参数化：

参数化是逆时针定向的：

根据定义 计算线积分：

通过力 作为粒子接受以下来自 , 到 , 的路径计算功：

将力场定义为从点到矢量的函数：

功是线积分 ：

求以下向量场的势能函数：

这是可能的，因为向量场是保守的:

定义一系列直线曲线，这些曲线在时间 从原点到时间 ：

让 为 的线积分从原点到点 ：

使用 Grad 验证 是 的势能：

使用格林定理查找由以下曲线包围的区域的面积：

以下向量场有 的二维 Curl：

以格式 应用格林定理计算面积：

使用格林定理计算中心在原点，半径为 3 的圆上的：

可视化线积分的向量场和圆：

可使用 Curl 计算向量场的循环：

在圆内部积分：

使用区域符号进行积分：

计算 单位球上的积分：

参数化球体：

确定无穷小曲面积：

进行积分 ：

比较区域积分：

验证上单位半球的 的斯托克定理：

使用标准球面坐标参数化曲面：

可视化曲面和矢量场：

表面的边界是 -平面上的单位圆：

计算向量场的旋度：

计算半球上的定向表面区域元素：

斯托克定理， 表明 在边界的线积分等于通过曲面旋度的通量积分：

使用散度定理计算 的通量，通过上由 ，下由 ，侧面由 和 绑定的曲面：

散度定理，，将通量与散度的体积分联系起来：

使用高斯定理来查找由以下参数曲面包围的体积：

表面上的定向区域元素由以下给出：

以下向量场的发散度等于 ：

应用格式为 的高斯定理计算体积：

给出质量密度 ，求区域质量：

参数的范围是 和 ，产生填充圆环：

输入质量密度函数：

计算雅可比行列式：

积分球总质量：

导出在 维单位球上 的积分公式：

验证公式：

计算介于 到 之间 的平均值：

可视化函数和其平均值：

求基于原点和边 和 的平行四边形上的 的均值：

当 ，均值由以下积分比例给出：

使用区域符表示积分：

可视化函数和它的均值：

要计算曲线 （从 到 ）下区域的质心，首先求面积：

质心等于坐标的平均值：

比较由 RegionCentroid 给定的答案：

确定曲线 和 （从 到 ）间区域的质心：

比较由 RegionCentroid 返回的答案：

可视化区域和它的质心：

使用积分是曲线下的面积这个事实，导出曲线 （从 到 ）下区域的质心的一般公式：

质心是 在区域从 到 ，和从 到 的均值：

质心类似于 的均值：

求原点为中心，半径为 ，且 的半球的质心：

首先计算区域的体积：

质量中心是位置向量的平均值：

可视化质量中心：

计算当 遵循标准正态分布， 的概率：

比较由 Probability 返回的值：

计算均值为 的指数分布， 的概率：

计算 的概率：

相应的概率陈述：

计算值在正态分布中的均值的两个标准差内的概率：

与 Probability 返回的答案进行比较：

该值约为 ：

这可以解释为在下图中，曲线下整个区域的大约 位于 和 之间：

计算当 遵循柯西分布的 期望：

与 Expectation 返回的答案相比：

正态分布的均值和方差：

与内置函数 Mean 和 Variance 比较：

显示均值为 μ 的指数分布的标准差也为 μ：

与由 Mean 和 StandardDeviation 返回的答案比较：

根据概率密度函数 (PDF) 计算累积分布函数 (CDF)：

CDF 给出 PDF 曲线下的面积，从 到 ：

计算傅里叶变换：

比较 FourierTransform：

求拉普拉斯变换：

比较 LaplaceTransform：

定义 Hartley 变换：

既然函数是偶函数，Hartley 变换等价于 FourierCosTransform：

求在 [0,1] 函数的傅里叶系数：

定义变换的部分和：

可视化部分和，由于 的周期性，它表现出吉布斯现象：

计算梅林变换：

比较 MellinTransform：

求 Hankel 变换：

比较 HankelTransform：

以封闭形式计算二次分数傅里叶变换：

可视化 α 的不同值的变换的实部和虚部：

定义单变量函数标准 范数：

也定义该函数的格式：

计算三个不同函数作为 函数的范数：

范数总是最终是 的递增函数，但它可能最初在减少：

傅里叶变换是 同构（函数的范数和其变换相等）：

但是，它不是任何其他值的 同构，例如，对于 ：

为 定义加权内积，在 上定义函数的权重 ：

在 上勒让德多项式 的正交性，其中加权函数为 ：

在 上切比雪夫多项式 的正交性，其中加权函数 ：

在 上赫米特多项式 的正交性，其中加权函数为 ：

使用 Integrate 定义函数上的内积：

使用 Orthogonalize 构建正交基：

这个内积产生 Gegenbauer 多项式：

计算作为封闭 的轮廓的积分的 处 的残差：

比较由 Residue 返回的答案：

用 Integrate 表示 HermiteH：

可视化前五个赫米特多项式：

用对数积分表示 Gamma：

可视化函数：

用 Integrate 表示 Zeta：

许多由标准数学函数组成的简单被积函数不能计算：

连续函数的不定积分可以是不连续的：

使用带有变量上极限的定积分可以平滑不连续性：

积分的导数可能和原函数有不同的形式：

Simplify 和相关的结果经常显示相等性：

相同被积函数的不同形式可能给出积分常数不同的积分：

在不定积分中类似 的参数被假定是普通类型：

使用带有变量上极限的定积分产生条件：

当部分和不能直接积分时，整个和将保留不积分的形式：

比较：

用不定积分的替换积分上下限可能不能给出定积分的正确结果：

在表达式中，不定积分的不连续的出现会导致异常：

指定整数假设，可能不会给出简单的结果：

使用 Simplify 和相关函数获取期待的结果：

一个定积分可能只有在无穷区间上有解析式：

区域上的积分不检验被积函数是否绝对可积：

答案可能取决于区域如何分解以进行积分：

在零维区域上的积分使用计数计量：

为了使用环境空间的度量，在所有空间上进行积分，并加上条件 ：

将 GenerateConditions 设为 False 可能会产生意外的答案：

在这种情况下，丢失了积分发散的条件：