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LegendreQ

给出第二类的勒让德（Legendre）函数.

LegendreQ[n,m,z]

第二类的关联的勒让德函数.

更多信息

数学函数，同时适合符号和数值运算.
对整数 n 和 m 给出明确的公式.
勒让德函数满足微分方程 .
LegendreQ[n,m,a,z] 给出 a 型的勒让德函数. 默认是 1 型.
1、2 和 3 型 LegendreQ 函数可用这些类型的 LegendreP 函数来定义，它们有与 LegendreP 同样的分支切割结构和属性.
对某些特定参数，LegendreQ 自动算出精确值.
LegendreQ 可求任意数值精度的值.
LegendreQ 自动线性作用于列表.
LegendreQ 可与 Interval 可与 CenteredInterval 对象一起使用. »

范例

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基本范例 (6)

数值运算：

计算第 5 个第二类的勒让德函数：

在实数的子集上绘图：

在复数的子集上绘图：

在原点的级数展开：

在 Infinity 的级数展开：

范围 (42)

数值评估 (6)

在固定点数值评估：

高精度求值：

输出精度与输入精度一致：

对复变量求值：

用高精度高效评估 LegendreQ：

使用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最坏情况下的保证间隔：

或使用 Around 计算平均情况统计区间：

计算数组的元素值：

或使用 MatrixFunction 计算矩阵 LegendreQ 函数：

特殊值 (5)

的勒让德函数：

固定的勒让德函数：

求根的局部极大：

计算第二类关联的勒让德函数：

不同的 LegendreQ 类型给出不同的符号形式：

可视化 (3)

绘制不同角度的 LegendreQ 函数：

绘制实部：

绘制虚部：

类型 2 和 3 勒让德函数有不同的分支切割结构：

函数属性 (12)

只要不是负整数，在上有定义：

在复平面，只要不是负整数，函数在上有定义：

整数阶数的勒让德函数的范围：

奇数阶的勒让德函数是偶数：

偶数阶的勒让德函数是奇数：

勒让德函数有镜像属性：

LegendreQ 不是解析函数：

也不是亚纯函数：

对于正整数，在上既不是非递减也不是非递增：

对于和非整数，该函数递增：

对于正整数，在上非单射函数：

对于和非整数，该函数为单射：

对于非负偶数，在上满射：

对于其他的值，该函数不是满射：

LegendreQ 既不是非负，也不是非正：

ArcCos 在 (-∞,-1] 和 [1,∞) 内有奇点和断点：

对于多数的值而言，既非凸函数也非凹函数：

微分 (3)

一阶导：

高阶导：

绘制的高阶导：

第阶导数的公式：

微分 (3)

的不定积分：

以原点为中心的区间上奇积分数的定积分是 0：

以原点为中心的区间上偶积分数的定积分：

这是半区间积分的两倍：

级数展开 (4)

的泰勒展开：

绘制在，的前 3 个近似：

级数展开中的广义项：

关联勒让德函数的泰勒展开：

LegendreQ 可应用于幂级数：

函数恒等与简化 (2)

展开整数或半整数参数的 LegendreQ 为更简化的函数：

递归关系：

函数表示 (4)

LegendreQ 可表示为 DifferentialRoot：

关角球形函数的关联勒让德多项式：

类型勒让德函数的关联勒让德函数：

TraditionalForm 格式：

推广和延伸 (2)

不同 LegendreQ 类型给出不同的符号形式：

2 型和 3 型有不同的分支线结构：

应用 (4)

角动量特征函数：

求解一个递归方程：

Pöschl–Teller 势是一类特殊的势，对它来说，一维薛定谔方程可以用特殊函数来求解.

寻找修正的 Pöschl–Teller 势的量子特征函数：

n 点高斯求积规则基于n 阶勒让德多项式的根. 计算 n 点高斯求积规则的节点和权重：

使用 n 点高斯求积规则对积分进行数值计算：

高斯求积规则的 Kronrod 扩展添加 n+1 个点并重用高斯求积中的 n 个节点，从而得到具有 2n+1 个点的积分规则. 额外的 n+1 个节点可以作为由第二类勒让德函数（Stieltjes 多项式）渐近展开所构造的多项式的根获得：

计算高斯–Kronrod 节点和权重：

使用 (2n+1) 点高斯–Kronrod 规则对积分进行数值计算：

高斯–Kronrod 规则与高斯规则的结果之间的差异可以作为误差估计：

将高斯–Kronrod 规则的结果与 NIntegrate 的结果进行比较：

属性和关系 (2)

LegendreQ 可以表示为 DifferenceRoot：

LegendreQ 的生成函数：

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