Enable JavaScript to interact with content and submit forms on Wolfram websites. Learn how

NDEigenvalues

NDEigenvalues[ℒ[u[x,y,…]],u,{x,y,…}∈Ω,n]

给出线性微分算子 ℒ 在区域 Ω 上 n 个最小量级的特征值.

NDEigenvalues[{ℒ₁[u[x,y,…],v[x,y,…],…],ℒ₂[u[x,y,…],v[x,y,…],…],…},{u,v,…},{x,y,…}∈Ω,n]

给出区域 Ω 上耦合微分算子 {op₁,op₂,…} 的特征值.

NDEigenvalues[eqns,{u,…},t,{x,y,…}∈Ω,n]

给出耦合时间相关微分方程 eqns 的解 u,… 空间变量 {x,y,…} 中的特征值.

更多信息和选项

NDEigenvalues，亦称为本征模求解器，是一个数值特征值求解器，用于求区域上微分方程的特征值.
NDEigenvalues 给出 n 个最小量级特征值 λ_i 的列表 {λ₁,…,λ_n}.
方程 eqns 与 NDSolve 中所指定的相同.
特征值按绝对值递增的顺序排序.
可以包括同质的 DirichletCondition、NeumannValue 或广义罗宾边界条件. »
可以包含 PeriodicBoundaryCondition .
如果没有对边界 ∂Ω 上的某些部分指定边界条件，则相当于指定 Neumann 0 边界条件.
对于一阶时间相关方程组的系统而言，时间导数 D[u[t,x,y,…],t],D[v[t,x,y,…],t],…, …. 实际上被 λ u[x,y,…],λ v[x,y,…],… 替代.
高于一阶的时间相关方程组系统被分解为含介值 u_t=u^*,=...， v_t=v^*,=... 的共轭一阶系统. 只返回函数 u、 v, … »
NDEigenvalues 接受 Method 可用于控制解的不同步骤的选项. 通过 Method->{s₁->m₁,s₂->m₂,…}，步骤 s_i 由方法 m_i 处理. 当步骤没有显式给出时， NDEigenvalues 尝试自动决定将给定方法应用于哪个步骤.
可能的求解步骤是：

	"PDEDiscretization"	空间算子的离散化.
	"Eigensystem"	从离散系统中计算特征系统.
	"VectorNormalization"	被用于构建特征函数的特征向量的标准化.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (3)

找出 [0,π] 上拉普拉斯算符的最小的4个特征值：

计算一个边缘被夹紧的圆薄膜的前6个特征值：

指定一个具有参数和电位的薛定谔算子：

找到5个最小的特征值：

范围 (12)

一维 (7)

指定拉普拉斯算子：

指定齐次狄利克雷边界条件：

找出最小的 4 个特征值：

指定一个拉普拉斯算符：

指定齐次 Neumann 边界条件：

求四个最小的特征值：

与下式等价：

指定具有齐次狄利克雷边界条件的瞬态方程：

找出最小的4个特征值：

指定具齐次狄利克雷边界条件的波方程：

求最小的 4 个特征值：

计算广义波动方程的特征值：

与常微分方程组的等效一阶系统的精确解相比：

指定刘维尔算符：

计算最小的 4 个特征值：

将这些特征值同解析特征值相比：

编写一个函数，用来计算拉普拉斯算子的参数化的复值周期性特征值：

求特征值：

在 0 到 4 范围内可视化特征值：

二维 (5)

指定拉普拉斯算子：

找出最小的 4 个特征值：

指定拉普拉斯算子：

找出这个算子在一个单位圆盘中的最小的 4 个特征值：

指定具有齐次狄利克雷边界条件的拉普拉斯算子：

找出一个矩形中的最小的 9 个特征值：

指定具有齐次狄利克雷边界条件的波动方程：

找出圆盘中最小的 4 个特征值：

解一个部分约束的特征值问题：

选项 (6)

Method (6)

"Eigensystem" (4)

指定一种方法来找出特征值：

这个例子默认方法更快：

默认方法为 Arnoldi 方法：

指定 Arnoldi 方法的最大迭代数：

求 Sturm–Liouville 算子在内的两个特征值，其中，Eigenvalues 使用 FEAST 方法：

根据 Sturm–Liouville 理论，特征值必须是不同的，但在此例中，它们几乎简并：

区间的端点不包含在 FEAST 求特征值的区间中；如果想了解更多信息，请查阅 Eigenvalues 参考页面.

下面举例说明 "Shift" 选项的用法.

"PDEDiscretization" (1)

为底层计算改变 MaxCellMeasure：

精确特征值是 0,1,4,9,…，因此特征值误差为：

已降低离散误差中的更细网格的结果：

"VectorNormalization" (1)

对没有任何归一化的计算的特征值进行运算：

归一化对特征值没有影响：

应用 (4)

声学 (1)

计算通过 Mini 汽车截面的近似声学特征值和特征函数. 导入横截面的图像：

使用蒙版工具创建一个边界图形：

离散化该图形：

计算横截面的 6 个特征值：

结构力学 (1)

指定一个平面应力 PDE：

计算约束条件的特征值：

特征值和特征函数的区间 (1)

在一个区间内求一个特征值：

量子力学 (1)

指定一个具有参数和电位的薛定谔算子：

找出细化网格上的 10 个最小特征值：

属性和关系 (3)

指定具有齐次狄利克雷边界条件的瞬态方程：

求最小的 4 个特征值：

这相当于：

将解析解与高阶含时 PDE 相比较.

求波动方程六个最小的特征值，在 0 和之间：

将特征值与转换成两个一阶方程组的的精确解相比较：

显示高阶含时 PDE 与一阶 PDE 方程组的关系.

求波动方程在 0 和之间的六个最小的特征值：

求以一阶 PDE 方程组给出的波动方程的六个最小的特征值：

二阶方程的特征值与一阶方程组的特征值相同：

可能存在的问题 (10)

计算的特征值取决于离散化的粒度：

精确特征值是 0,1,4,9,…，所以特征值误差为：

已降低离散误差中的更细网格的结果：

波动方程的特征值会是角频率的平方根：

与等价的一阶常微分方程组的精确解相比较：

无法求解非齐次狄利克雷边界条件下的特征值：

可以求解齐次狄利克雷边界条件下的特征值：

无法求解非齐次 Neumann 边界值条件下的特征值：

可以求解齐次 Neumann 边界值条件下的特征值：

同样的结果：

无法求解非齐次广义 Neumann 边界值条件下的特征值：

算子和可能的边界条件必须是稳态且线性的：

初始条件设为零并被忽略：

相同的结果：

NDEigenvalue 将 PDE 转换为时间依赖的 PDE. 这种转换不是唯一的，并且可能导致耦合 PDE 出现意外的结果：

在内部，给定方程被重写为时间依赖的 PDE 方程组. 在上面的例子中，根据给定的因变量 {v[x],u[x]}，生成以下含时方程组：{D[v[t, x], t] == - u[t, x] - Laplacian[u[t, x], {x}],D[u[t, x], t] == -v[t, x] - Laplacian[v[t, x], {x}]}

为了唯一地指定方程组，最好使用时间描述：

可在 Finite Element Method Usage Tips 中找到更多关于这个问题的讨论.

有些情况下，NDEigenvalues 可能会返回关于耦合 PDE 的出乎意料的结果：

避免此问题的一种方法是通过 "InterpolationOrder" 选项指定因变量的顺序：

或者使用 "Direct" 方法：

可在 Finite Element Method Usage Tips 中找到更多关于这个问题的讨论.

NDEigenvalues 求给定线性微分算子的个最小量级特征值. 特别是在需要找到最负特征值的情况下，例如在许多量子力学问题中，个负值最大的特征值可能与 NDEigenvalues 默认返回的个特征值不一致. 要了解这一点，请看下面的范例.

以氢原子的无量纲径向薛定谔方程为例，能量单位为雷德贝格（Rydbergs），长度以玻尔半径（Bohr radii）为单位.

定义径向薛定谔方程：

求解时的特征值问题. 使用细化网格以获得良好的近似质量：

查看以电子伏特为单位得到的特征值：

这些特征值与最接近的特征值相对应. 比如，请查看以下问题的分析特征值.

该方程的分析能量遵循以下关系：

如果你事先知道特征值的下限，比如下标，你就可以将特征值问题重新定义为 . 换句话说，这是一个新的特征值问题：，其中且 . 鉴于是的负下限，移位确保了只能取正值. 因此，的个量级最小值将对应于的个负值最大的值. 这样，我们就可以计算出，然后得到 . 最简单的方法是使用 "Shift" 选项.

设置下限：

定义偏移并求解特征值问题：

查看以电子伏特为单位得到的特征值：

这些特征值与负值最大的特征值相对应，但顺序相反，因此有必要对特征状态进行排序.

使用 Sort 对特征状态进行排序：

请看分析特征值与所得结果之间的差异：

顶部