微分代数方程 (DAE)

DAE 综述DAE 范例

DAE 综述

控制（电路、化学动力学等）某些现象的方程组包含微分方程和代数方程的组合. 微分方程负责系统的动态演化，而代数方程则用于约束某些流形的解. 因此，研究这种微分代数方程（DAE）的解是有一定意义的.

这是一个简单的 DAE 示例. 第一个等式是函数 x[t] 的 ODE，而第二个等式将函数 x[t] 和 y[t] 约束在 - 空间中的子流形（直线）中：

这些教程仅限于线性 DAE，它们被定义为以下类型的方程组.

这里 和 是自变量 的矩阵函数， 是 的向量函数， 是未知数的向量. 如果矩阵 是非奇异的（即可逆的），那么这是一个 ODE 系统. 因此，如果矩阵 是奇异的，则系统是 DAE.

如果 ，则认为系统是齐次的. 至于 ODE，DAE 的通解是由相应的齐次问题和非齐次系统的特定解组成.

DSolve 可以找到所有 DAE 的解，其中矩阵 和 的项是常量. 据说这种 DAE 具有常系数. DSolve 使用的算法基于将 和 分解为非奇异和幂零部分. 该分解用于计算 和 的广义逆，这有效地简化了求解 ODE 系统的问题.

重要的是要认识到必须仔细规定 DAE 的初始值，以保证有解. 通过考虑以下方程组可以看出这一点.

这给出

因此唯一的解是

但是，这个解与初始条件 不一致.

DSolve 可以求解具有常系数的 DAE；参见 "DAE 范例".

DAE 范例

这是一个具有常系数的简单齐次 DAE：
找到通解. 它只有一个任意常数，因为系统中的第二个方程指定了 x[t] 和 y[t] 之间的关系：
验证解：
以下是来自于之前范例的非齐次系统：
通解是由对应的齐次方程组的通解和非齐次方程的特定解组合而成：
求解上一个等式的初始值问题：
解和约束（代数）条件的图：
在这个 DAE 中，非齐次部分是很一般的：
注意，解中没有自由度（即，没有任意常数），因为 z[t] 是以代数方式给出的，因此，x[t] 和 y[t] 可以使用微分根据 z[t] 唯一确定：
在此示例中，代数约束仅隐式存在：所有三个方程都包含未知函数的导数：
雅可比关于未知函数的导数是奇异的，因此无法求解：
从通解中较少数量的任意常数（两个而不是三个）可以清楚地看出这个问题的微分代数特征：

具有高阶导数的方程组通过将它们简化为一阶方程组来求解.

以下是具有常系数的二阶齐次 DAE 的通解：
ODE 的非齐次方程组是基于之前的范例：
这是之前方程组的初始值问题：
以下是图的解：
最后，这是一个三阶 ODE 系统. 由于系数是精确的量，计算需要一些时间：

非线性或具有非常数系数的 DAE 的符号解是一个难题. 这些系统通常可以使用 Wolfram 语言函数 NDSolve 以数值方式求解.