偏微分方程

PDE 综述	二阶 PDE
一阶 PDE

本文旨在求偏微分方程 (PDE) 的解析解. 如果你对偏微分方程的数值解感兴趣，那么数值 PDEModels Overview 是一个很好的起点.

PDE 综述

偏微分方程 (PDE) 是未知函数与其相对于变量的导数之间的关系.

以下是 PDE 的示例：

PDE 在应用中自然发生；他们模拟了物理量相对于空间变量和时间变量的变化率. 在此开发阶段，DSolve 通常仅适用于具有两个独立变量的 PDE.

PDE 的阶是其中出现的最高导数的阶. 前面的方程是一阶 PDE.

如果及其导数满足方程，则函数是给定 PDE 的解.

这是前一个方程的一个解：

验证解：

以下是一些众所周知的 PDE 示例（单击表中的链接将显示相关示例）. DSolve 为所有这些类型的方程提供符号解，但有一定的限制条件，特别是对于二阶偏微分方程.

方程的名称	一般形式	分类
迁移方程	，其中为常数	线性一阶 PDE
Burgers 方程		拟线性一阶 PDE
eikonal 方程		非线性一阶 PDE
Laplace 方程		椭圆型线性二阶 PDE
波动方程	，为光速	双曲型线性二阶 PDE
热方程	，为热扩散率	抛物型线性二阶 PDE

回想一下，PDE 的通解涉及任意函数而不是任意常量. 可从下面的例子中看出原因.

关于 y 的偏导数在该示例中不出现，因此可以将任意函数 C[1][y] 添加到解，因为 C[1][y] 相对于 x 的偏导数是 0 ：

如果解中有多个任意函数，则将它们标记为 C[1]、C[2] 等.

一阶 PDE

线性和拟线性 PDE

一阶偏微分方程通常分为线性、拟线性或非线性. 本教程中讨论了前两种类型.

如果可以按以下格式表示，则未知函数的一阶 PDE 被认为是线性的：

如果能够按以下格式表达，则说 PDE 是拟线性的：

既不是线性也不是拟线性的 PDE 被认为是非线性的.

为方便起见，本教程中使用符号、和来表示未知函数及其偏导数.

这是一个具有常系数的线性齐次一阶 PDE：

该方程是线性的，因为左侧是、和中的线性多项式. 由于没有没有、或的项，PDE 也是齐次的.

如前所述，一般解包含参数

的任意函数 C[1]：

这将验证解是否正确：

通过指定函数 C[1] 获得齐次 PDE 的特定解：

以下是此特解的曲面图：

迁移方程是一阶常系数线性齐次 PDE 的一个很好的例子.

在此迁移方程中，为方便起见，

：

注意，迁移方程的解在平面中形式的任何直线上是恒定的. 这些直线称为基本特征曲线. 方程定义了三维平面. 这些平面与解表面的交点称为特征曲线. 由于特征曲线是 ODE 系统的解，因此解决 PDE 的问题约简为求解、和的 ODE 系统的问题，其中是沿着特征曲线的参数. 这些 ODE 称为特征 ODE.

非齐次 PDE 的解有两个分量：齐次 PDE 的通解和非齐次 PDE 的特定解.

这是一阶的线性非齐次 PDE：

解的第一部分

是非齐次 PDE 的特定解. 解的其余部分是齐次方程的通解：

这是一个具有可变系数的线性齐次 PDE：

验证解：

这是一个具有可变系数的线性非齐次 PDE：

该解再次由齐次 PDE 的通解和非齐次 PDE 的特定解 Sin[x] 组成：

现在考虑一阶拟线性偏微分方程的一些例子.

由于右侧的项

，此 PDE 是拟线性的：

验证解：

Burgers 方程是拟线性 PDE 的一个重要例子.

它可以使用前面介绍的符号编写：

项使该方程成为拟线性.

求解方程：

验证 Burgers 方程的解：

拟线性的一个实际结果是冲击的出现以及解的变陡和断裂. 因此，尽管找到线性和拟线性偏微分方程的通解的程序非常相似，但解的性质存在明显差异.

非线性 PDE

未知函数的一般一阶非线性 PDE 由下式给出

这里，是、和的一个函数.

术语“非线性”是指是和的非线性函数的事实. 例如，eikonal 方程涉及和中的二次表达式.

一阶线性或拟线性 PDE 的通解涉及任意函数. 如果 PDE 是非线性的，则完全积分给出了非常有用的解. 这是 u(x,y,C[1],C[2]) 的函数，其中 C[1] 和 C[2] 是独立参数，u 满足平面开放子集中 (C[1],C[2]) 的所有值的 PDE. 完全积分可用于找到 PDE 的通解以及解决它的初始值问题.