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球体坐标中的弹性介质

球体坐标中的弹性介质

当弹性介质处于平衡状态时，各个点上的力平衡2阶应力张量的散度. 应力张量，依次是对称4阶刚度张量和2阶应变张量的收缩. 应变张量是位移场的对称梯度. 这些场都可以在 Wolfram 语言已知的任意坐标系下作为对称数组表示和操作.

定义有嵌入对称性的应力张量并计算在求坐标下计算其散度：
Wolfram Language code: σ[r_, θ_, φ_] = SymmetrizedArray[{{1, 1} -> σrr[r, θ, φ], {1, 2} -> σrθ[r, θ, φ], {1, 3} -> σrφ[r, θ, φ], {2, 2} -> σθθ[r, θ, φ], {2, 3} -> σθφ[r, θ, φ], {3, 3} -> σφφ[r, θ, φ]}, {3, 3}, Symmetric[All]];
Wolfram Language code: div = Div[σ[r, θ, φ], {r, θ, φ}, "Spherical"]//Simplify //Normal
由定义计算球坐标下的张力：
Wolfram Language code: u[r_, θ_, φ_] := {ur[r, θ, φ], uθ[r, θ, φ], uφ[r, θ, φ]}
Wolfram Language code: strain = Symmetrize[Grad[u[r, θ, φ], {r, θ, φ}, "Spherical"]]//Simplify; strain//SymmetrizedArrayRules//Most
收缩有刚度张量的应变张量来获取应力张量. Wolfram 语言可以核实结果的对称性：
Wolfram Language code: stiff = SymmetrizedArray[pos_ :> c@@pos, {3, 3, 3, 3}, Symmetric[All]] TensorContract[stiffstrain, {{3, 5}, {4, 6}}]