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線形成長モデルの伊藤過程とStratonovich過程の解

伊藤過程とStratonovich過程を同じ確率微分方程式 で定義する：
Wolfram Language code: ipr = ItoProcess[ⅆx[t] == x[t](r ⅆt + σ ⅆw[t]), x[t], {x, x0}, t, wWienerProcess[]]
Wolfram Language code: spr = StratonovichProcess[ⅆx[t] == x[t](r ⅆt + σ ⅆw[t]), x[t], {x, x0}, t, wWienerProcess[]]
伊藤過程の平均と分散の関数を求める：
Wolfram Language code: {Mean[ipr[t]], Variance[ipr[t]]}//Simplify
Stratonovich過程の平均と分散の関数は異なる：
Wolfram Language code: {Mean[spr[t]], Variance[spr[t]]}//Simplify
のとき，伊藤過程の会はほぼ確実にゼロに収束する．つまり，過程の値 が を超えない確率の大きな 極限は1に等しい：
Wolfram Language code: Assuming[0 < r < σ^2 / 2 && σ > 0 && x0 > 0, Limit[Probability[[t] ≤ 1 / t, ipr], t -> ∞]]
シミュレーションを使ってこれを確かめる：
Wolfram Language code: ListLogPlot[RandomFunction[ipr /. {r -> 1, σ -> 2, x0 -> 1}, {0, 20., 0.002}, 6, Method -> "KPS"], PlotRange -> All, Joined -> True]
しかしのとき，Stratonovich過程の解はほぼ確実に発散する．つまり，過程の値 が を超える確率の大きな 極限は1に等しい：
Wolfram Language code: Assuming[0 < r < σ^2 / 2 && σ > 0 && x0 > 0, Limit[Probability[[t] > t, spr], t -> ∞]]
シミュレーションを使ってこれを確かめる：
Wolfram Language code: ListLogPlot[RandomFunction[spr /. {r -> 1, σ -> 2, x0 -> 1}, {0, 20., 0.002}, 6, Method -> "KPS"], PlotRange -> All, Joined -> True]