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ポアンカレセクション

NDSolveをWhenEventと一緒に使ってポアンカレセクションを計算する．

周期的に動かされる平面の例では，ポワンカレセクションは定期的な時間間隔でサンプルして得ることができる．サンプリングは，NDSolveへの呼出しの周りに，囲まれたReapを持つSowのアクションと一緒に，WhenEventを使って行うことができる．
Duffingの方程式 を解き，駆動力 の期間それぞれにおけるサンプルを保存する：
Wolfram Language code: data = Block[{δ = 0.15, γ = 0.3}, Reap[NDSolve[{x''[t] + δ x'[t] - x[t] + x[t] ^ 3 == γ Cos[ t], x[0] == 0, x'[0] == 0, WhenEvent[Mod[t, 2π] == 0, Sow[{x[t], x'[t]}]]}, {}, {t, 0, 100000}, MaxSteps -> ∞]]][[-1, 1]];
ListPlotを使って，これらのパラメータ値のストレンジアトラクタを可視化することができる：
Wolfram Language code: ListPlot[data, ImageSize -> Medium, PlotRange -> {{-1.5, 1.5}, All}, PlotStyle -> PointSize[0.0025]]
より高次の系については，ポアンカレセクションは事実上位相空間でのスライス上でサンプルを取る．これは通常解に依存する事象を必要とする．この例として，三次元オイラー方程式の層流のカオスをモデル化するのに使われるArnold–Beltrami–Childress (ABC)フローがある：
Wolfram Language code: abc = {Derivative[1][x][t] == (3/4) Cos[y[t]] + Sin[z[t]], Derivative[1][y][t] == Cos[z[t]] + Sin[x[t]], Derivative[1][z][t] == Cos[x[t]] + (3/4) Sin[y[t]]};
ポアンカレセクションは 平面を交差する解としてサンプルを取って計算される．空間の全体像を得るには，複数の異なる初期条件を使う必要がある：
Wolfram Language code: psect[{x0_, y0_, z0_}] := Reap[NDSolve[{abc, x[0] == x0, y[0] == y0, z[0] == z0, WhenEvent[y[t] == 0, Sow[{x[t], z[t]}]]}, {}, {t, 0, 1000}, MaxSteps -> ∞]][[-1, 1]]
関数を複数の初期条件に適用する：
Wolfram Language code: abcdata = Mod[Map[psect, {{4.267682454609692, 0, 0.9952906114885919}, {1.6790790859443243, 0, 2.1257099470901704}, {2.9189523719753327, 0, 4.939152797323216}, {3.1528896559036776, 0, 4.926744120488727}, {0.9829282640373566, 0, 1.7074633238173198}, {0.4090394012299985, 0, 4.170087631574883}, {6.090600411133905, 0, 2.3736566160602277}, {6.261716134007686, 0, 1.4987884558838156}, {1.005126683795467, 0, 1.3745418575363608}, {1.5880780704325377, 0, 1.3039536044289253}, {3.622408133554125, 0, 2.289597511313432}, {0.030948690635763183, 0, 4.306922133429981}, {5.906038850342371, 0, 5.000045498132029}}], 2 π]; ListPlot[abcdata, ImageSize -> Medium]