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调整倒立摆

在这个经典的控制系统问题中，要设计一个控制器，使一个处于不稳定平衡的系统达到稳定. 将倒立摆关于垂直位置线性化. StateFeedbackGains 给出一个可被认为是控制器的矩阵，它把极点放在复平面的左半部分. 然后对闭环系统进行两次仿真.

计算调整倒立摆竖直位置的状态反馈增益：
Wolfram Language code: pendulum = StateSpaceModel[{(M + m)x''[t] - m l Sin[θ[t]] θ'[t]^2 + m l Cos[θ[t]] θ''[t] == F[t] + d[t] Cos[θ[t]], m x''[t] Cos[θ[t]] + m l θ''[t] == m g Sin[θ[t]] + d[t]}, {θ[t], θ'[t], x[t], x'[t]}, {F[t], d[t]}, {θ[t], x[t]}, t] /. {M -> 5.6, m -> 0.53, l -> 0.85, g -> 9.8}; poles = {-1 + 2I, -1 - 2I, -5, -7};
Wolfram Language code: k = Join[StateFeedbackGains[SystemsModelExtract[pendulum, 1], poles], {ConstantArray[0, 4]}]
从小车初始位置 起小车和摆的位移 和 ：
Wolfram Language code: Plot[OutputResponse[{SystemsModelStateFeedbackConnect[pendulum, k], {0, 0.01, 0, 0}}, {0}, {t, 4}]//Evaluate, {t, 0, 4}, PlotRange -> All, PlotStyle -> {Blue, Red}, Epilog -> Inset[Column[{Style["x(t)", 10, Blue], Style["θ(t)", 10, Red]}], {3, 0.004}], AxesLabel -> {"t"}]
当出现扰动时，位移同样被调整：
Wolfram Language code: Plot[OutputResponse[SystemsModelStateFeedbackConnect[pendulum, k], {0, UnitStep[t] - UnitStep[t - 1]}, {t, 4}]//Evaluate, {t, 0, 4}, PlotRange -> All, PlotStyle -> {Blue, Red}, Epilog -> Inset[Column[{Style["x(t)", 10, Blue], Style["θ(t)", 10, Red]}], {3, 0.5}], AxesLabel -> {"t"}]