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洛伦茨方程的敏感度

洛伦茨方程的敏感度

使用相关参数可视化洛伦茨方程的敏感度：
Wolfram Language code: leqns = {Derivative[1][x][t] == -3 (x[t] - y[t]), Derivative[1][y][t] == -x[t] z[t] + σ x[t] - y[t], Derivative[1][z][t] == x[t] y[t] - z[t]};
Wolfram Language code: pl = ParametricNDSolveValue[{leqns, x[0] == z[0] == 0, y[0] == 1}, Function[Evaluate[{x[#], y[#], z[#]}]], {t, 0, 15}, σ];
解的图显示了经典洛伦茨吸引子的一部分. 随着时间的增加，颜色从红变成蓝色：
Wolfram Language code: ParametricPlot3D[pl[28][t], {t, 0, 15}, ColorFunction -> (Hue[.8 #4]&)]
关于 的导数显示对 的变化，解是如何敏感的. 颜色对应于与上图一样的时间值：
Wolfram Language code: ParametricPlot3D[pl'[28][t], {t, 0, 15}, PlotRange -> All, ColorFunction -> (Hue[.8 #4]&)]
带有邻近的 的两解快速偏离. 大的敏感度表明这是可能的：
Wolfram Language code: ParametricPlot3D[{pl[28][t], pl[28.1][t], pl[27.9][t]}, {t, 0, 15}, PlotRange -> All, PlotStyle -> {Blue, Red, Green}]
另一种查看敏感度的方法是考虑坐标基的局部到轨迹上的一点，使得沿着轨迹的一个坐标点和两个是正交的. 正交方向的选择使得一个分量在最近平衡点的方向，因为这些点的周围的轨迹靠近一个平面：
Wolfram Language code: equilibria[σ_] = Select[{x[t], y[t], z[t]} /. Solve[leqns /. {x'[t] -> 0, y'[t] -> 0, z'[t] -> 0}, {x[t], y[t], z[t]}], UnsameQ[Norm[#], 0]&]
Wolfram Language code: sb[σ_][t_ ? NumberQ] := Module[{v, eqv, o}, v = pl[σ]; eqv = First[Nearest[Map[v[t] - #&, equilibria[σ]], v[t], 1]]; o = Orthogonalize[{v'[t], eqv, Cross[v'[t], eqv]}]; o.pl'[σ][t]]
Wolfram Language code: ParametricPlot3D[sb[28][t], {t, 0, 15}, PlotRange -> All, ColorFunction -> (Hue[.8 #4]&), PlotRange -> All, BoxRatios -> 1, AxesLabel -> {"p", "o1", "o2"}]
敏感度的最大部分是沿着轨迹的方向.
使用上面的敏感度，绘制的图显示敏感度的缩放幅度在与轨迹垂直的方向上：
Wolfram Language code: Block[{σ = 28}, ParametricPlot3D[pl[σ][t] + .025 Abs[sb[σ][t]]{0, Cos[θ], Sin[θ]}, {t, 0, 15}, {θ, 0, 2 π}, PlotPoints -> {300, 20}, Mesh -> None, PlotStyle -> Opacity[.4], BoxRatios -> 1, PlotRange -> All, ImageSize -> Medium, AxesLabel -> {"x"."y", "z"}]]