DiscreteRiccatiSolve

DiscreteRiccatiSolve[{a,b},{q,r}]

给出矩阵 ，它是离散代数 Riccati 方程 TemplateBox[{a}, ConjugateTranspose].x.a-x-TemplateBox[{a}, ConjugateTranspose].x.b.TemplateBox[{{(, {r, +, {TemplateBox[{b}, ConjugateTranspose], ., x, ., b}}, )}}, Inverse].TemplateBox[{b}, ConjugateTranspose].x.a+q=0 的稳定解.

DiscreteRiccatiSolve[{a,b},{q,r,p}]

求解 TemplateBox[{a}, ConjugateTranspose].x.a-x-(TemplateBox[{a}, ConjugateTranspose].x.b+p).TemplateBox[{{(, {r, +, {TemplateBox[{b}, ConjugateTranspose], ., x, ., b}}, )}}, Inverse].(TemplateBox[{b}, ConjugateTranspose].x.a+TemplateBox[{p}, ConjugateTranspose])+q=0.

更多信息和选项

  • 在 TemplateBox[{a}, ConjugateTranspose].x.a-x-TemplateBox[{a}, ConjugateTranspose].x.b.TemplateBox[{{(, {r, +, {TemplateBox[{b}, ConjugateTranspose], ., x, ., b}}, )}}, Inverse].TemplateBox[{b}, ConjugateTranspose].x.a+q=0 中， 表示共轭转置.
  • 仅当 稳定、 可测、 且 时，方程 TemplateBox[{a}, ConjugateTranspose].x.a-x-TemplateBox[{a}, ConjugateTranspose].x.b.TemplateBox[{{(, {r, +, {TemplateBox[{b}, ConjugateTranspose], ., x, ., b}}, )}}, Inverse].TemplateBox[{b}, ConjugateTranspose].x.a+q=0 有唯一对称的正半定解. 因此，矩阵 的所有特征值位于单位圆内，并且解是稳定的.
  • 当 可控且 可观测时，解是正定的.
  • DiscreteRiccatiSolve 支持 Method 选项. 可以指定以下选项：
  • Automatic自动确定方法
    "Eigensystem"基于特征分解
    "GeneralizedEigensystem"基于广义特征分解
    "GeneralizedSchur"基于广义舒尔分解
    "InverseFree""GeneralizedSchur" 的变型
    "MatrixSign"
  • 使用矩阵符号函数的迭代法
    • "Newton"迭代牛顿法
    "Schur"基于舒尔分解
  • 所有方法适用于近似数值矩阵. "Eigensystem" 适用于精确矩阵.

范例

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基本范例  (1)

求解离散代数 Riccati 方程：

验证解：

范围  (3)

求解离散 Riccati 方程：

求解带有交叉耦合矩阵的离散 Riccati 方程：

求解采样数据传递函数模型的 Riccati 方程：

选项  (7)

Method  (7)

Automatic 和 "Eigensystem" 方法可用于精确系统：

也适用于不精确系统：

"Schur" 方法可用于不精确系统：

"Newton" 适用于不精确系统，可能比 Automatic 更准确：

计算解和绝对误差：

与默认方法比较：

"Newton" 接受子选项 "StartingMatrix"、"MaxIterations" 和 "Tolerance"：

"Newton" 方法可能不计算稳定解，即使这种解存在：

与 Automatic 方法比较：

"MatrixSign" 通常用作 "Newton" 方法的初始近似：

使用 xinit 对 "Newton" 方法初始化：

比较误差：

"MatrixSign" 接受子选项 "MaxIterations" 和 "Tolerance"：

当 a 为奇异时，"GeneralizedSchur" 或 "GeneralizedEigensystem" 适用：

矩阵 a 是奇异的：

这两种方法适用于奇异的 a：

验证误差：

当 a 为奇异时，不能使用 "Eigensystem"：

当 r 为病态时，可以使用 "InverseFree"：

矩阵 r 具有很高的条件数：

使用该方法：

与默认方法比较：

在这种情况下，默认方法的绝对误差更高：

应用 (2)

涡轮发电机的线性模型具有状态和输入矩阵：

对于已知加权矩阵 {q,r} 和初始状态 s0 的离散 LQ 调控成本 Jopt：

计算最佳状态反馈增益，确保所有的闭环极点在半径为 的圆内：

无任何规定稳定度的闭环极点：

属性和关系  (11)

DiscreteRiccatiSolve[{a,b},{q,r,p}] 等价于 DiscreteRiccatiSolve[{a-b.r^( -1).p,b},{q-p.r -1.p,r}]:

通过将 p 结合入 a 和 q 矩阵，可以得到等价结果：

如果 {a,b} 是稳定的，{a,g} 可检测，且 q=Transpose[g].g，则离散 Riccati 方程的解是半正定的：

如果 {a,b} 可控制，{a,g} 可观测，且 q=Transpose[g].g，则离散 Riccati 方程的解是正定的：

与离散代数 Riccati 方程相关联的矩阵是辛矩阵：

辛矩阵的特征值是形如 的数对：

和 是相似矩阵：

辛矩阵必须满足稳定性和互补性，以获得 Riccati 方程的稳定解：

稳定性：

互补性：

稳定解：

有 的反馈系统的特征值是辛矩阵的稳定特征值：

使用 DiscreteRiccatiSolve 计算最优状态反馈增益：

使用 LQRegulatorGains 直接获得相同结果：

使用 DiscreteRiccatiSolve 计算最优输出反馈增益：

LQOutputRegulatorGains 给出相同结果：

使用 DiscreteRiccatiSolve 计算最优估计器增益：

使用 LQEstimatorGains：

系统离散近似的最佳轨迹导致较高的成本：

起点为 s0 的系统最佳 LQ 调控成本：

可能存在的问题  (1)

如果 {a,b} 不可稳定，且 {a,g} 不可检测，则具有 q=g.g 的 Riccati 方程无稳定解：

Wolfram Research (2010)，DiscreteRiccatiSolve，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/DiscreteRiccatiSolve.html （更新于 2014 年）.

文本

Wolfram Research (2010)，DiscreteRiccatiSolve，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/DiscreteRiccatiSolve.html （更新于 2014 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2010. "DiscreteRiccatiSolve." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2014. https://reference.wolfram.com/language/ref/DiscreteRiccatiSolve.html.

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Wolfram 语言. (2010). DiscreteRiccatiSolve. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/DiscreteRiccatiSolve.html 年

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