GroupMultiplicationTable

GroupMultiplicationTable[group]

将 group 的乘法表以数组的形式给出.

更多信息

  • 对于阶数为 n 的 group，GroupMultiplicationTable 返回一个 n×n 整数矩阵 mat，其元素 matij 给出这个群中元素 i 和 j 相乘的结果. 位置 i、j 以及 matij 是利用函数 GroupElementPosition 计算的.

范例

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基本范例  (1)

下面是一个阶数为 8 的群：

下面是所有元素对的相乘，编号来自 GroupElementPosition 返回的结果：

生成这个群的所有 8 个置换：

置换 5 和 2 的乘积是列表中的置换 7：

范围  (1)

对任何有限群都可以构建乘法表：

应用  (1)

在置换群代数中，基本元素是一个群的置换的线性组合. 通过使用乘法表，可以避免置换乘积的重复计算. 把群代数的元素表示为系数列表，就有可能对它们进行乘法运算：

下面是幂零元：

下面是幂等元：

属性和关系  (7)

一个群的乘法表的每个行和每个列对每个置换都只包含一次，但是这些行和列以不同的顺序包含这些置换. 因此，该表格是一个拉丁方（注意：不是每个拉丁方都对应于一个群，因为它不能保证它们的相关性）：

平凡群的乘法表：

凯莱定理指出每个有限群与置换的某个对称群的子群同构. 因此，每个乘法表都是一个对称群的乘法表的子表，当然有时可能需要先对置换重新编号.

这是 的子群的乘法表：

因此，它可以作为 的乘法表的子表提取出来：

一个群是阿贝尔群，当且仅当它的乘法表在转置下是对称的. 以次数为 3 的对称群为例：

群 不是阿贝尔群：

当一个群的所有元素都是对合时，这个群是阿贝尔群. 即如果乘法表在对角线上都是1时，则它是对称的：

乘法表可以通过直接使用 PermutationProduct 和GroupElementPosition 得到：

如果在模掉元素重新排序的情况下，两个群有相同的群乘法表，则这两个群作为抽象群是同构的：

但是，这两个群作为置换群不是同构的，因为它们的置换有不同的轮换结构：

可能存在的问题  (1)

乘法表遵循“数组指标”的方法，其中第一个元素在垂直轴上表示，而第二个元素在水平轴上表示，而不是与此相反的“笛卡尔指标”：

巧妙范例  (1)

下面是对称群 的乘法表的矩阵图：

Wolfram Research (2010)，GroupMultiplicationTable，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/GroupMultiplicationTable.html.

文本

Wolfram Research (2010)，GroupMultiplicationTable，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/GroupMultiplicationTable.html.

CMS

Wolfram 语言. 2010. "GroupMultiplicationTable." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/GroupMultiplicationTable.html.

APA

Wolfram 语言. (2010). GroupMultiplicationTable. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/GroupMultiplicationTable.html 年

BibTeX

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