ImplicitD

ImplicitD[eqn,y,x]

给出偏导数 ，假定变量 y 表示由方程 eqn 定义的隐函数.

ImplicitD[f,eqn,y,x]

给出偏导数 ，假定变量 y 表示由方程 eqn 定义的隐函数.

ImplicitD[f,{eqn1,…,eqnk},{y1,…,yk},x]

给出偏导数 ，假定变量 y1,…,yk 表示由方程组 eqn1∧…∧eqnk 定义的隐函数.

ImplicitD[f,eqns,ys,{x,n}]

给出多重导数 .

ImplicitD[f,eqns,ys,x1,x2,…]

给出偏导数 .

ImplicitD[f,eqns,ys,{x1,n1},{x2,n2},…]

给出多重偏导数 .

ImplicitD[f,eqns,ys,{{x1,x2,…}}]

对于标量 f 给出向量导数 .

ImplicitD[f,eqns,ys,{array}]

给出一个数组导数.

更多信息

  • ImplicitD 通常用于计算隐式定义函数的导数.
  • 如果变量 x 和 y 满足方程 ，则在下面阐述的某些条件下，y 可以被局部视为 x 的函数，并且该函数的导数可以用 g 的偏导数表示.
  • 如果函数 是连续可微的， 和 ，则隐函数定理保证在 的邻域中存在唯一函数 ，使得 且 . 被称为由方程 定义的隐函数. 因此，.
  • ImplicitD[f,g==0,y,…] 假定 是连续可微的并且要求 .
  • 类似地，如果 个变量 和 满足由 个方程组成的方程组 ，则在下述特定条件下， 可以局部视为 的函数，这些函数的导数可以用 的偏导数表示.
  • 如果函数 连续可微， 且雅可比矩阵 可逆，则隐函数定理保证在 的邻域存在唯一函数 使得 且 . 函数 被称为由方程 定义的因函数. 因此，.
  • ImplicitD[f,{g1==0,…,gk==0},{y1,…,yk},…] 假定 是连续可微的，并且要求雅可比矩阵 可逆.
  • 对于列表，ImplicitD[{f1,f2,…},…] 递归地等价于 {ImplicitD[f1,…],ImplicitD[f2,…],…}.
  • ImplicitD[eqns,ys,…] 等价于 ImplicitD[ys,eqns,ys,…]，其中 eqns 是方程或方程的列表.
  • ImplicitD[f,eqns,ys,{array}] 有效地将 ImplicitD 遍历 array 的各个元素.
  • 所有表达式，只要不显式依赖于微分变量或表示隐函数的变量，都被认为偏导数为零.

范例

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基本范例  (5)

关于 的导数，其中 受方程 约束：

的二阶导数，假定 ：

涉及两个隐定义函数的导数：

关于 和 的导数：

涉及符号函数 和 的导数：

范围  (9)

隐式定义函数的导数：

涉及由多项式方程定义的隐函数的表达式的导数：

涉及由超越方程定义的隐函数的表达式的导数：

涉及由一对方程定义的两个隐函数的表达式的导数：

涉及隐函数的表达式的三阶导数：

包含隐函数的表达式的混合偏导 ：

混合偏导 ：

涉及隐函数的表达式的梯度：

涉及隐函数的表达式的雅可比行列式：

定义隐函数 的方程需要有一个关于 的非零导数：

定义隐函数 的方程需要有一个关于 的逆雅可比式：

应用  (3)

计算曲线的切线斜率：

切线的斜率等于 对 的导数：

在曲线上的六个点处显示切线：

求曲面的切平面：

计算 关于 和 的梯度：

在曲面上的三个点处显示切平面：

验证微分方程的隐式解：

解的导数等于微分方程的右边：

属性和关系  (4)

方程 在 的任何点的邻域中定义一个隐函数：

隐函数的导数等于 ：

导数在 处具有奇点：

使用 D 计算隐函数的导数：

与使用 ImplicitD 获得的结果进行比较：

使用 SolveValues 求 的显式解：

将解的导数与使用 ImplicitD 获得的结果进行比较：

Root[g,k] 表示 g[y] 的解：

比较 的导数和使用 ImplicitD 得到的结果：

可能存在的问题  (1)

ImplicitD[f,{y,g},…] 要求 ：

当 时，结果是有效的，在其他情况下是奇异的：

Wolfram Research (2022)，ImplicitD，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/ImplicitD.html.

文本

Wolfram Research (2022)，ImplicitD，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/ImplicitD.html.

CMS

Wolfram 语言. 2022. "ImplicitD." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/ImplicitD.html.

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Wolfram 语言. (2022). ImplicitD. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/ImplicitD.html 年

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