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xy 或 VectorLess[{x,y}]

对于长度为 n 的向量，如果对于所有 的元素 xi<yi 成立，则给出 True.

xκy 或 VectorLess[{x,y},κ]

对于 x 和 y，如果 ，则给出 True，其中 κ 为正常凸锥.

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按以下格式引用：

VectorLess

xy 或 VectorLess[{x,y}]

对于长度为 n 的向量，如果对于所有 的元素 xi<yi 成立，则给出 True.

xκy 或 VectorLess[{x,y},κ]

对于 x 和 y，如果 ，则给出 True，其中 κ 为正常凸锥.

更多信息

  • VectorLess 给出向量、矩阵和数组的偏序，与向量空间运算兼容，因而对于所有的 ， 和 即意味着 .
  • VectorLess 通常用于指定约束优化、不等式求解和积分的向量不等式.
  • 当 x 和 y 为 -向量时，xy 等价于 . 即为了使关系式成立，x 的每个元素都小于 y 的相应元素.
  • 当 x 和 y 是维数为 的数组时，xy 等价于 . 即为了使关系式成立，x 的每个元素都小于 y 的相应元素.
  • 如果 x 或 y 有非数字元素，xy 不会进行计算；否则通常会给出 True 或 False.
  • x 是长度为 n 的向量，y 为标量时，如果对于所有 的元素 xi<y 成立，xy 给出 True.
  • 通过使用字符 （用 v< 或 \[VectorLess]），可用以下方式输入带有下标的向量不等式：
  • xyVectorLess[{x,y}]标准向量不等式
    x_(kappa)yVectorLess[{x,y},κ]由锥 κ 定义的向量不等式
  • 一般情况下，可以用合适的凸锥 κ 指定向量不等式. 集合 与 κ 相同.
  • 对于向量 x， 中可能的锥规范 κ 包括：
  • {"NonNegativeCone", n}TemplateBox[{n}, NonNegativeConeList] 中使得 的元素
    {"NormCone", n}TemplateBox[{n}, NormConeList] 中使得 Norm[{x1,…,xn-1}]<xn 的元素
    "ExponentialCone"TemplateBox[{}, ExponentialConeString] 中使得 的元素
    "DualExponentialCone"TemplateBox[{}, DualExponentialConeString] 中使得 的元素
    {"PowerCone",α}TemplateBox[{alpha}, PowerConeList] 中使得 的元素
    {"DualPowerCone",α}TemplateBox[{alpha}, DualPowerConeList] 中使得 的元素
  • 对于矩阵 x， 中可能的锥规范 κ 包括：
  • "NonNegativeCone"TemplateBox[{}, NonNegativeConeString] 中使得 的元素
    {"SemidefiniteCone", n}TemplateBox[{n}, SemidefiniteConeList]对称正定矩阵
  • 对于数组 x， 中可能的锥规范 κ 包括：
  • "NonNegativeCone"TemplateBox[{}, NonNegativeConeString] 中使得 的元素
  • 对于精确数量，VectorLess 在内部使用数值近似对数字进行排序. 此过程可能被全局变量 $MaxExtraPrecision 的设置所影响.

范例

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基本范例  (3)

如果对于所有 i=1,…,n，xi < yi 为 True，x<y 给出 True：

Wolfram Language code: {1, 2, 3}{2, 3, 4}

如果对于任一 i=1,…,n，xi ≥ yi 成立，x<y 给出 False：

Wolfram Language code: {1, 2, 3}{2, 3, 3}

表示向量不等式：

Wolfram Language code: vi = {1, 2, 3}v

当 v 被替换为数值向量空间元素时，不等式给出 True 或 False：

Wolfram Language code: vi /. v -> 3
Wolfram Language code: vi /. v -> {2, 4, 5}

也可用 给出圆锥 ：

Wolfram Language code: RegionPlot[{-2, -3}{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}, ...]

也可用 给出圆锥 ：

Wolfram Language code: RegionPlot[{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}{3, 2}, ...]

也可用 给出长方体 ：

Wolfram Language code: RegionPlot[{-2, -3}{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}{3, 2}, ...]

范围  (7)

确定是否向量中的所有元素都为正数：

Wolfram Language code: v = RandomReal[1, 10];
Wolfram Language code: 0v

确定是否所有元素都小于 1：

Wolfram Language code: v1

!xy 并不意味着 xy：

Wolfram Language code: x = {1, 0}; y = {0, 1};
Wolfram Language code: !xy
Wolfram Language code: xy

对于每个元素，!xi<yi 意味着 xi≥yi：

Wolfram Language code: TableForm[{Not /@ Thread[x < y], Thread[x ≥ y]}, TableHeadings -> {{HoldForm[!Subscript[x, i] < Subscript[y, i]], HoldForm[Subscript[x, i] ≥ Subscript[y, i]]}, {1, 2}}]

比较两个矩阵的元素：

Wolfram Language code: m1 = RandomReal[{0, 1.01}, {4, 4}]; m2 = RandomReal[{.99, 2}, {4, 4}];
Wolfram Language code: m1m2

比较对称矩阵：

Wolfram Language code: x = IdentityMatrix[3];y = DiagonalMatrix[{4, 5, 6}]; z = Dot[#, Transpose[#]]&[RandomReal[1, {3, 3}]];
Wolfram Language code: xSubscript[, {"SemidefiniteCone", 3}]y
Wolfram Language code: PositiveDefiniteMatrixQ[y - x]
Wolfram Language code: xSubscript[, {"SemidefiniteCone", 3}]z
Wolfram Language code: PositiveDefiniteMatrixQ[z - x]

表示条件 Norm[{x,y}]<1：

Wolfram Language code: 0Subscript[, {"NormCone", 3}]{x, y, 1}
Wolfram Language code: % /. {x -> .5, y -> .6}

表示条件 ：

Wolfram Language code: 0Subscript[, "ExponentialCone"]{x, 1, z}
Wolfram Language code: % /. {x -> 1, z -> 3}

显示 的边界，其中 x,y 非负，α 位于 0 和 1 之间：

Wolfram Language code: Manipulate[RegionPlot3D[0Subscript[, {"PowerCone", α}]{x, y, z}, {x, 0, 2}, {y, 0, 2}, {z, -2, 2}], {{α, .5}, 0.01, .99}]

应用  (1)

VectorLess 是比较许多元素大小的捷径：

Wolfram Language code: v1 = RandomReal[{-1, 0}, 10 ^ 7]; v2 = RandomReal[{1, 0}, 10 ^ 7];
Wolfram Language code: AbsoluteTiming[v1v2]
Wolfram Language code: AbsoluteTiming[AllTrue[v2 - v1, Positive]]

属性和关系  (3)

VectorLess 与向量空间运算兼容：

Wolfram Language code: {a, b} = {{1, 1}, {2, 3}};

两边同时加上任意向量 ，：

Wolfram Language code: c = {2, 1};
Wolfram Language code: {ab, a + cb + c}
Wolfram Language code: Resolve[ForAll[{a, b, c}, (a | b | c)∈Vectors[2, ℝ], aba + cb + c]]

两边都乘以任意正的常数 ，：

Wolfram Language code: α = 1 / 2;
Wolfram Language code: {ab, α aα b}
Wolfram Language code: Resolve[ForAll[{a, b, α}, (a | b)∈Vectors[2, ℝ]∧α∈PositiveReals, abα aα b], ℝ]

xy 是（严格）偏序，即具有非自反性、反对称和传递性：

Wolfram Language code: {a, b, c} = {{0, 0}, {1, 2}, {2, 3}};

非自反性，即对于所有元素 ，，所以没有元素与自身相关：

Wolfram Language code: aa
Wolfram Language code: Resolve[ForAll[a, a∈Vectors[2, ℝ], ¬aa], Reals]

非对称性，即如果 ，则 ：

Wolfram Language code: {ab, Not[ba]}
Wolfram Language code: Resolve[ForAll[{a, b}, (a | b)∈Vectors[2, ℝ], ab¬ba], Reals]

传递性，即如果 且 ，则 ：

Wolfram Language code: {ab, bc, ac}
Wolfram Language code: Resolve[ForAll[{a, b, c}, (a | b | c)∈Vectors[2, ℝ], ab∧bcac], Reals]

xκy 是偏序而不是全序，所以有不可比的元素：

Wolfram Language code: {a, b} = {{1, 1}, {2, 0}};

不成立， 也不成立，因为 和 是不可比的元素：

Wolfram Language code: {ab, ba}

和 的向量集合. 这些是可与 进行比较的元素：

Wolfram Language code: RegionPlot[{{0, 0}{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}{0, 0}}, ...]
Wolfram Research (2019)，VectorLess，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/VectorLess.html.

文本

Wolfram Research (2019)，VectorLess，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/VectorLess.html.

CMS

Wolfram 语言. 2019. "VectorLess." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/VectorLess.html.

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Wolfram 语言. (2019). VectorLess. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/VectorLess.html 年

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@misc{reference.wolfram_2026_vectorless, author="Wolfram Research", title="{VectorLess}", year="2019", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/VectorLess.html}", note=[Accessed: 31-October-2026]}

BibLaTeX

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