VectorLessEqual

xyVectorLessEqual[{x,y}]

对于长度为 n 的向量,如果对于所有 的元素 xiyi 成立,则给出 True.

xκyVectorLessEqual[{x,y},κ]

对于 xy,如果 y-xκ,则给出 True,其中 κ 为正常凸锥.

更多信息

  • VectorLessEqual 给出向量、矩阵和数组的偏序,与向量空间运算兼容,因而对于所有的 即意味着 .
  • VectorLessEqual 通常用于指定约束优化、不等式求解和积分的向量不等式. 也被用来定义向量优化中的最小元素.
  • xy-向量时,xy 等价于 . 即为了使关系式成立,x 的每个元素都小于或等于 y 的相应元素.
  • xy 是维数为 的数组时,xy 等价于 . 即为了使关系式成立,x 的每个元素都小于或等于 y 的相应元素.
  • 如果 xy 有非数字元素,xy 不会进行计算;否则通常会给出 TrueFalse.
  • x 是长度为 n 的向量,y 为标量时,如果对于所有 的元素 xiy 成立,xy 给出 True.
  • 通过使用字符 (用 v<=\[VectorLessEqual] 输入),可用以下方式输入带有下标的向量不等式:
  • xyVectorLessEqual[{x,y}]标准向量不等式
    x_(kappa)yVectorLessEqual[{x,y},κ]由锥 κ 定义的向量不等式
  • 一般情况下,可以用合适的凸锥 κ 指定向量不等式. 集合 κ 相同.
  • 对于向量 x 中可能的锥规范 κ 包括:
  • {"NonNegativeCone", n}TemplateBox[{n}, NonNegativeConeList] 中使得 的元素
    {"NormCone", n}TemplateBox[{n}, NormConeList] 中使得 Norm[{x1,,xn-1}]xn 的元素
    "ExponentialCone"TemplateBox[{}, ExponentialConeString] 中使得 的元素
    "DualExponentialCone"TemplateBox[{}, DualExponentialConeString] 中使得 or 的元素
    {"PowerCone",α}TemplateBox[{alpha}, PowerConeList] 中使得 的元素
    {"DualPowerCone",α}TemplateBox[{alpha}, DualPowerConeList] 中使得 的元素
  • 对于矩阵 x 中可能的锥规范 κ 包括:
  • "NonNegativeCone"TemplateBox[{}, NonNegativeConeString] 中使得 的元素
    {"SemidefiniteCone", n}TemplateBox[{n}, SemidefiniteConeList]对称半正定矩阵
  • 对于数组 x 中可能的锥规范 κ 包括:
  • "NonNegativeCone"TemplateBox[{}, NonNegativeConeString] 中使得 的元素
  • 对于精确数量,VectorLessEqual 在内部使用数值近似对数字进行排序. 此过程可能被全局变量 $MaxExtraPrecision 的设置所影响.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (3)

如果对于所有 i=1,,nxiyiTruexy 给出 True

如果对于任一 i=1,,nxi>yiTruexy 给出 False

表示向量不等式:

v 被替换为数值向量空间元素时,不等式给出 TrueFalse

也可用 给出圆锥

也可用 给出圆锥

也可用 给出长方体

范围  (7)

确定是否向量中的所有元素都为非负数:

确定是否所有元素都小于或等于 1:

!xy 并不意味着 xy

对于每个元素,!xiyi 意味着 xi>yi

比较两个矩阵的元素:

比较对称矩阵:

表示条件 Norm[{x,y}]<=1

表示条件

显示 ,其中 x,y 非负,α 位于 0 和 1 之间:

应用  (8)

基本用法  (1)

VectorLessEqual 是比较许多元素大小的捷径:

向量不等式的优化  (1)

求解向量不等式  (1)

不等式 表示长方体 Cuboid[pmin,pmax]

在向量不等式区域上积分  (2)

在非负象限 上对 积分:

使用向量变量:

在非负象限上对 积分:

在长方形 上对 积分:

使用向量变量:

在长方体 上对 积分:

矩阵不等式  (3)

使用标准向量顺序表示非负矩阵集:

给出一组被区间界定的矩阵:

用半定锥定义一组对称半正定矩阵:

通过使用 定义一组最小特征值为 、最大特征值为 的对称矩阵,其中 n=IdentityMatrix[n]κ="SemidefiniteCone". 由此得出一组对称矩阵 ,该矩阵的特征值位于 1 和 2 之间,即

用矩阵变量描述同一个问题:

求这样的矩阵:

检查结果:

属性和关系  (3)

VectorLessEqual 与向量空间运算兼容:

两边同时加上任意向量

两边都乘以任意正的常数

xy 是(非严格)偏序,即具有自反性、反对称和传递性:

自反性,即对于所有元素

反对称性,即如果 ,则有

传递性,即如果 ,则

xκy 是偏序而不是全序,所以有不可比的元素:

都不成立,因为 无法比较:

的向量集合. 这些是可与 进行比较的元素:

可能存在的问题  (1)

向量排序是部分排序,所以 的逆不等价于

这里 都为 false:

可视化 . 这些集合的差是无法比较的元素:

Wolfram Research (2019),VectorLessEqual,Wolfram 语言函数,https://reference.wolfram.com/language/ref/VectorLessEqual.html.

文本

Wolfram Research (2019),VectorLessEqual,Wolfram 语言函数,https://reference.wolfram.com/language/ref/VectorLessEqual.html.

CMS

Wolfram 语言. 2019. "VectorLessEqual." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/VectorLessEqual.html.

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Wolfram 语言. (2019). VectorLessEqual. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/VectorLessEqual.html 年

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