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One of the boundary conditions is not given directly as a function of the variables:
NDSolve[{Derivative[2, 0][f][x, t] == Derivative[0, 2][f][x, t], Derivative[0, 1][f][x, 0] == 0, f[0, 2t] == 0, f[1, t] == 0, f[x, 0] == x(1 - x)}, f, {x, 0, 1}, {t, 0, 1}]
DSolve NDSolve RSolve