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NResidue[expr,{z,z0}]

点 z=z0付近の expr の留数を数値的に求める．

詳細とオプション
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NumericalCalculus`
NumericalCalculus`

NResidue

NResidue[expr,{z,z0}]

点 z=z0付近の expr の留数を数値的に求める．

詳細とオプション

  • NResidueを使うためには，まず数値計算パッケージをロードしなくてはならない．それにはNeeds["NumericalCalculus`"]を実行する必要がある．
  • 引数 x が数値の場合，式 expr は数値でなければならない．
  • 留数は，expr のローレン展開の(z-z0)-1の係数として定義される．
  • NResidueは複素平面上の点 z0を中心とする小円の周りを数値的に積分する．NResidueは穴あき円板が解析的でない場合，誤った結果を返す．
  • NResidueは実質的にゼロとなるような小さい数を認識することができない．このような誤った残差を排除するためにChopが必要となることがよくある．
  • Residueは通常ある点でベキ級数を評価することができなければならないが，NResidueはベキ級数が計算されなくても留数を見付けることができる．
  • NResidueはNIntegrateと同じオプションを持つ他，次のような追加・変更がある：
  • Radius 1/100積分が評価される曲線の半径
    MethodTrapezoidal使用する積分法

例題

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例  (1)

Wolfram Language code: Needs["NumericalCalculus`"]

原点付近の関数の留数：

Wolfram Language code: NResidue[(1/x), {x, 0}]

スコープ  (2)

Wolfram Language code: Needs["NumericalCalculus`"]

NResidueは真性特異点を持つ関数の留数を見付けることができる：

Wolfram Language code: NResidue[Sin[(1/10x)], {x, 0}]//Chop

Seriesは真性特異点を扱うことができないので，Residueは評価されないまま返される：

Wolfram Language code: Residue[Sin[(1/10x)], {x, 0}]
Wolfram Language code: Needs["NumericalCalculus`"]

NResidueでは極の位置に少し誤差があってもよい：

Wolfram Language code: NResidue[(1/1.7 - 2.7z + z^2), {z, 1.}]//Chop

機械精度計算のため，z -> 1.は極ではない：

Wolfram Language code: (1/1.7 - 2.7z + z^2) /. z -> 1.

Residueでは，極の位置の誤差によりゼロという結果になる：

Wolfram Language code: Residue[(1/1.7 - 2.7z + z^2), {z, 1.}]

一般化と拡張  (1)

Wolfram Language code: Needs["NumericalCalculus`"]

NResidueはリストに要素単位で縫い込まれる：

Wolfram Language code: NResidue[{Exp[(1/x)], Sin[(1/x)], Cos[(1/x)]}, {x, 0}, Radius -> 1]//Chop

オプション  (3)

Radius  (2)

Wolfram Language code: Needs["NumericalCalculus`"]

Radiusを使うと，単一の極を分離するために積分曲線の半径を小さくすることができる：

Wolfram Language code: NResidue[(1/x) + (1/x + 0.005), {x, 0}]//Chop
Wolfram Language code: NResidue[(1/x) + (1/x + .005), {x, 0}, Radius -> .001]//Chop
Wolfram Language code: Needs["NumericalCalculus`"]

他の極が近くにない場合は，半径を大きくして積分の収束を向上させる：

Wolfram Language code: NResidue[Exp[(1/x)], {x, 0}]//Chop
Wolfram Language code: NResidue[Exp[(1/x)], {x, 0}, Radius -> 1]//Chop

WorkingPrecision  (1)

Wolfram Language code: Needs["NumericalCalculus`"]

NResidueは，NIntegrateのオプションを取る．これは正確な結果を得るために必要なことがある：

Wolfram Language code: NResidue[Exp[(1/x)] + Exp[(1/x - (1/100))], {x, 0}, Radius -> (1/200), MaxRecursion -> 10, WorkingPrecision -> 100, PrecisionGoal -> 10]//Chop

アプリケーション  (2)

Wolfram Language code: Needs["NumericalCalculus`"]

NResidueを使って，ある1点で評価された関数の導関数を評価する：

Wolfram Language code: Derivative[10][Zeta][0]//N[#, {30, 30}]&
Wolfram Language code: 10!NResidue[(Zeta[x]/x^11), {x, 0}, Radius -> (1/2), WorkingPrecision -> 30]
Wolfram Language code: Needs["NumericalCalculus`"]

数値関数の留数：

Wolfram Language code: f[a_ ? NumericQ] := NIntegrate[Exp[(t^2/a)](1/10 + a t), {t, 0, 1}]
Wolfram Language code: NResidue[f[a], {a, 0}, Radius -> 1]//Chop

特性と関係  (1)

Wolfram Language code: Needs["NumericalCalculus`"]

NSeriesは数値関数の留数を計算することもできる：

Wolfram Language code: f[x_ ? NumericQ] := Exp[(1/x)]
Wolfram Language code: NResidue[f[x], {x, 0}, Radius -> 1]//Chop

NSeriesを使う：

Wolfram Language code: SeriesCoefficient[NSeries[f[x], {x, 0, 5}], -1]//Chop

考えられる問題  (1)

Wolfram Language code: Needs["NumericalCalculus`"]

積分曲線に分枝切断線が含まれる場合，NResidueは不正確な結果を返す：

Wolfram Language code: Residue[Sqrt[x - 1]Sqrt[x + 1], {x, 0}]
Wolfram Language code: NResidue[Sqrt[x - 1]Sqrt[x + 1], {x, 0}, Radius -> 2]
Wolfram Research (2007), NResidue, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/NumericalCalculus/ref/NResidue.html.

テキスト

Wolfram Research (2007), NResidue, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/NumericalCalculus/ref/NResidue.html.

CMS

Wolfram Language. 2007. "NResidue." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/NumericalCalculus/ref/NResidue.html.

APA

Wolfram Language. (2007). NResidue. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/NumericalCalculus/ref/NResidue.html

BibTeX

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BibLaTeX

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