ディスクブレーキの熱分析

はじめにモデルの拡張
軸対称熱伝導方程式用語集
2Dの軸対称熱伝導モデル参考文献

はじめに

ブレーキシステムは通常1つのブレーキディスクと2つのブレーキパッドで構成されている．ブレーキを掛けると，ブレーキパッドがディスクに圧力を掛けて減速させる．この過程で，パッドとディスクの間の摩擦によって力学的エネルギーの熱エネルギーへの変換が起こる．その後このエネルギーはディスクの材料に消散され，温度分布 （単位は）の変化を引き起こす．このノートブックでは，ブレーキによって引き起こされる熱分布を計算するための過渡温度解析の例を示す．ディスクとブレーキパッドの形状は回転対称であり，軸対称熱分析が使われる．ここで示すモデルは周囲をブレーキパッドで覆われた簡約化されたディスクブレーキであり，[Adamowicz,2015]に基づくものである．回転対称であるという仮定は，ディスクがパッドの大きさと比較して素早く回転するということで保証される．

熱移動の現象は熱方程式で記述されるが，この例では熱方程式の特殊形，軸対称形式で記述することができる．これは，領域と境界条件が 軸について回転対称であるため可能なのである．軸対称モデルを使うと，3D熱移動問題を解くよりも時間とメモリの両方についてコストが低くて済むという利点がある．

有限要素パッケージをロードする：

軸対称熱伝導方程式

軸対称熱伝導方程式は以下で与えられる：

ここで は質量密度（単位は）， は比熱容量（単位は ）， は熱伝導率（単位は）である．

軸対称熱伝導方程式は，円筒座標の代りに独立変数を持つ2Dの切り取られた円筒座標系を使う．円筒座標変数 はシステムが 軸について回転対称なので消失する．

軸対称熱伝導方程式の詳細は熱移動モノグラフ熱方程式の特殊な場合に記載されている．

領域

この場合，解析の領域は軸対称の形状，つまり回転体である．以下の図は矩形領域（ディスク）と2つのブレーキパッドのうちの一つのシミュレーション領域を示している（ディスク）．

18.gif

ブレーキディスクを通した横断面である黒い矩形領域を，回転軸である 軸について回転させると，以下の3Dモデル形状が得られる．

20.gif

以下では長さの単位はすべてメートルで与えられる．シミュレーションの設定はディスクとパッドで構成され，使用されるさまざまな対称性がある．その一つに 軸を中心とする回転対称性がある．これによりシミュレーション領域を環状ディスクに軸対称断面に対応する矩形領域にまで縮小することができる．2つ目の対称性はディスクの切断線で示される．通常ブレーキシステムは1つのディスクと，両側からそのディスクに作用する2つのブレーキパッドで構成される．2番目の対称性により，ディスクの厚さを半分にし，パッドを1つだけモデル化することが可能である．方程式は半分になったディスクで解き，パッドは境界条件としてモデル化される．

以下では長さの単位はすべてメートルで与えられる．例はディスク の厚さの半分（破線の切断線）および境界条件を介した1つのブレーキパッドPad 1の効果をモデル化する．この立体はディスクの内半径 と外半径 ，パッドの内半径 と外半径 ，ディスク の半分の厚さ，パッドの厚さ で記述される．

通常のブレーキシステムでは，ディスクの外半径 はパッドの外半径 より大きいが，[Adamowicz,2015]と一貫性を持たせるため，両方の外半径は等しいとする．最初のスケッチは，熱流がどの領域で発生するかも示している．

ディスクには ，パッドには を使って，形状のパラメータを指定する：

境界マーカーを利用するために，ToBoundaryMeshを使って手動でメッシュを生成する．その後これらのマーカーは形状の境界条件を設定するために使うことができる．マーカーを使った方が，各境界に対して定式を指定するよりも簡単である．これについては要素メッシュの生成のマーカーセクションで詳しく説明する．

シミュレーション領域の境界メッシュを設定する：
境界メッシュと境界マーカーを可視化する：

要素マーカー1の青い境界は1種類目の境界条件を指定し，要素マーカー2の赤い境界は2種類目の境界条件を指定するために使われる．どちらの境界条件についても後ほど説明する．それとは別に，要素マーカー3の緑の境界は，モデルをさらに拡張する後のセクションで使われる．

境界メッシュから完全メッシュを生成する：

2Dの軸対称熱伝導モデル

パラメータの設定

次のステップでは，材料パラメータと2Dの軸対称過渡熱伝導方程式を設定する．[Adamowicz,2015]によれば，ディスクは鋳鉄ChNMKhで，パッドは陶性合金FMC-11でできている．ディスクの質量密度 （単位は），比熱容量 （単位は），熱伝導率 （単位は）を定義する．

後で境界条件を指定したときに，特性名から直接パラメータ値にアクセスできた方が便利なので，定義を分割する．

ディスクの材料パラメータを指定する：

次に実際の値を定義する．

材料の値を設定する：
初期条件を設定する：

関数HeatTransferPDEComponentを使うと熱移動方程式の軸対称形式が作成できる．そのためにはパラメータ"RegionSymmetry"を"Axisymmetric"に設定する．

PDEコンポーネントを設定する：

境界条件

前述の通り，方程式はディスク上でのみ解かれ，パッドは境界条件としてモデル化されるので，このモデルで定義する必要があるのは2つの境界条件である．

一つは，パッドが置かれる領域でパッドが発する熱流の原因となる熱流境界条件である．熱流は境界要素マーカー2でアクティブである．これはパッドの内半径 からパッドの外半径 までである．熱流は関数 で与えられる．これは，一定の初期角速度から停止までの一度のブレーキ過程で生成される熱流であり，[Adamowicz,2015]で記述されている．

二つ目の境界条件は，断熱条件であり境界要素マーカー1で示された境界でアクティブである．HeatInsulationValueはノイマン0値を生成する．これらは自然なデフォルトの境界条件なので，省略することができる．

熱流に関わるパッドの材料特性と運転パラメータを定義する：
ヘルパー関数を生成して，熱流の過渡値を計算する：
要素マーカー2の境界にHeatFluxValue境界条件を設定する：

モデル評価

後はNDSolveValueでPDEの数値解を計算するだけである．

シミュレーション終了時間を設定する：
方程式を解く：

可視化

主要半径位置（ディスクとパッドの内半径と外半径）における，ブレーキ中のディスク の接触面の温度変化をプロットする．

主要半径位置の温度変化を抽出し，一つのプロットに可視化する：

結果のデータは[Adamowicz,2015]で示されているFig. 2.に匹敵する．

2D等高線プロットを作成する：

アニメーションの質を向上させる方法はこちらでご覧いただきたい．

におけるディスクの温度場をプロットする：

軸対称モデルの完全な3D解を可視化するためには，補間関数を適用してデータを3D領域で可視化することができる．つまりデータの回転プロットを作成するということである．

RegionPlot3Dを使って，pred が環状ディスクの方程式である三次元領域を示すプロットを作成する．

RegionPlot3Dを使って対称軸モデルの解を3Dで可視化する：

モデルの拡張

前のセクションでは簡単なディスクブレーキPDEモデルを紹介した．このセクションでは，より現実的なシミュレーションを可能にするために2つの点でモデルを拡張する．1つ目は材料パラメータが温度依存であること，2つ目は熱対流と熱放射を境界に適用することによって，ディスクの放熱をモデル化することである．

非線形材料パラメータ

ディスクの炭素含有量によって，密度と熱伝導率は温度上昇とともに減少する一方，熱容量は温度とともに上昇する．すべての特性について，簡単な線形モデルを使う．このために，簡単なデータ点を作成し，材料データへの線形フィットを求める．別のアプローチとして，材料係数として補間関数を使うというものがある．これでもよいが，補間関数を使ったアプローチよりもフィットを求めるアプローチの方が時間積分が速いという利点がある．記号的なフィットモデルは補間関数のルックアップと補間よりも効率的だからである．もちろんフィットに高次のモデルを使うこともできる．

線形モデルを作成する：
ディスク材料の熱伝導率の温度依存についての線形モデルを作成する：
ディスク材料の質量密度の温度依存についての線形モデルを作成する：
ディスク材料の熱容量の温度依存についての線形モデルを作成する：

対流境界条件と放射境界条件

2つ目の拡張は冷却メカニズムを加えることである．ここでは対流冷却と放射冷却を考える．

ここで取るモデリングアプローチは，ブレーキパッドで覆われない部分は，パッドの下の部分よりもわずかに大きい対流冷却を示すというものである．ディスクはパッドの大きさと比べて速く回転するので，両方の領域に同じ熱移動係数を使うことができる．

パッドのないディスクの対流冷却：
パッドのあるディスクの対流冷却：

ここで取るアプローチでは，ブレーキパッドで覆われていない部分には放射冷却がある．

覆われていない部分の放射冷却：

対照的にブレーキパッドで覆われる部分も，小さい放射率の放射冷却をモデル化する．

覆われた部分の放射冷却：
HeatFluxValue境界条件を設定する：

モデルの評価

方程式を解く：

可視化

数か所におけるブレーキ中のディスクの接触面 の温度変化をプロットし，それらが簡単なディスクブレーキPDEモデルとどの程度異なるかを見る．

温度変化を抽出し，破線で示された以前の値と比べる：

用語集

参考文献

1.  Adamowicz, A. (2015). Axisymmetric FE model to analysis of thermal stresses in a brake disk. Journal of Theoretical and Applied Mechanics (Poland), 53(2), 409–420. https://doi.org/10.15632/jtam-pl.53.2.357