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StreamPointsを使って流線のシード点を与える.
pts = Flatten[Table[{{x, y}, Hue[RandomReal[]]}, {x, -1, 1, 0.25}, {y, -1, 1, 0.25}], 1];
StreamPlot[{-y ^ 2, Sin[x]}, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, AspectRatio -> Automatic, StreamPoints -> {pts, Automatic, Scaled[2.3]}, StreamScale -> None, Epilog -> {Blue, PointSize[Medium], Point[pts[[All, 1]]]}]