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テンソルの正規化

Wolfram言語には強力なテンソルの正規化機能が含まれ，これは対称性を持つテンソルの積，縮約，転置を含む式を標準形にすることができる．それらの標準形から計算を最適化することができ，新しい恒等式が導かれる．

Tがリーマンテンソルの転置の対称性を持つ，次元 の階数4のテンソルであると宣言する．すると105個の の完全縮約が可能である：
Wolfram Language code: $Assumptions = T∈ Arrays[{d, d, d, d}, Reals, {{{2, 1, 3, 4}, -1}, {{3, 4, 1, 2}, 1}}]; contractions = Map[Sort, Partition[#, 2]& /@ Permutations[Range[8]], {1, 2}]//DeleteDuplicates; Length[contractions]
しかし，対称性のため，9つしか可能な結果がなく，符号を無視すると5つだけである．以下のリストは，そのそれぞれの縮約の正規形を返し，その下の表は，可能な非零の縮約を表す：
Wolfram Language code: TensorReduce[TensorContract[TT, #]]& /@ contractions//DeleteDuplicates
Wolfram Language code: tlist = %[[2 ;; -2 ;; 2]]; glist = MapAt[Annotate[#, ImageSize -> 60]&, SymbolicTensors`TensorGraph[#, Method -> 2]& /@ tlist, {1, 1}]; Grid[Transpose[{tlist, glist}]]
正規化機能は，最新のアルゴリズムを使って答を素早く返す．50個の縮約を含むテンソル式が1秒かからずに正規化できる：
Wolfram Language code: TensorReduce[TensorContract[TensorProduct @@ ConstantArray[T, 25], Partition[RandomSample[Range@100], 2]]]//Timing