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CatalanNumber[n]

n 番目のカタラン数 TemplateBox[{n}, CatalanNumber]を与える．

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CatalanNumber

CatalanNumber[n]

n 番目のカタラン数 TemplateBox[{n}, CatalanNumber]を与える．

詳細

  • CatalanNumber[n]は，一般的にと定義される．
  • カタラン数は整数引数のための整数であり，さまざまな木の列挙問題に現れる．
  • CatalanNumberはIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

例題

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例  (1)

最初の10個のカタラン数：

Wolfram Language code: Table[CatalanNumber[n], {n, 10}]

スコープ  (9)

大きい引数について評価する：

Wolfram Language code: CatalanNumber[100000]//Short

半整数引数について評価する：

Wolfram Language code: CatalanNumber[5 / 2]

数値的に評価する：

Wolfram Language code: CatalanNumber[2.3]

複素引数について評価する：

Wolfram Language code: CatalanNumber[1.2 + I]

カタラン数をその下付き文字の関数としてプロットされる：

Wolfram Language code: Plot[CatalanNumber[n], {n, -3, 3}]

CatalanNumberを含む総和を計算する：

Wolfram Language code: Sum[1 / CatalanNumber[n], {n, 1, Infinity}]
Wolfram Language code: Sum[(1/4^n) CatalanNumber[n], {n, m - 1}]

CatalanNumberはリストに対して要素単位で適用される：

Wolfram Language code: CatalanNumber[{1, 2, 3, 4}]

CatalanNumberはIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる：

Wolfram Language code: CatalanNumber[Interval[{0.5, 0.6}]]
Wolfram Language code: CatalanNumber[CenteredInterval[1, 1 / 100]]

TraditionalFormによる表示：

Wolfram Language code: CatalanNumber[n]//TraditionalForm

アプリケーション  (3)

式をカッコでくくるさまざまな方法の数を計算する：

Wolfram Language code: SetAttributes[f, {Flat, OneIdentity}]

CirclePlusでリスト上に分布させる：

Wolfram Language code: e : CirclePlus[___, _List, ___] := Distribute[Unevaluated[e], List]

パターンマッチングを使って，可能なすべての方法で，繰返しリストを2分割していく：

Wolfram Language code: parenthesizedlist = f[a, b, c, d] //. {f[x__] :> ReplaceList[f[x], f[u_, v_] :> CirclePlus[u, v]]}//Flatten

式a⊕b⊕c⊕dをカッコでくくる方法の数：

Wolfram Language code: Length[parenthesizedlist]

検証する：

Wolfram Language code: CatalanNumber[3]

カタラン数CatalanNumber[n]は，2つのハンケル行列式がどちらも1と等しくなる数の一意的な集合として特徴付けられる．最初の数例について検証する：

Wolfram Language code: Table[Det[HankelMatrix[CatalanNumber[Range[0, n]], CatalanNumber[Range[n, 2n]]]] == Det[HankelMatrix[CatalanNumber[Range[n + 1]], CatalanNumber[Range[n + 1, 2n + 1]]]] == 1, {n, 9}]

カタラン数についての式を二重階乗によって確認する：

Wolfram Language code: Assuming[n∈Integers && n >= 0, FullSimplify[CatalanNumber[n] == (2^2n + 1(2n - 1)!!/(2n + 2)!!)]]

特性と関係  (6)

カタラン数の母関数：

Wolfram Language code: GeneratingFunction[CatalanNumber[n], n, x]
Wolfram Language code: Series[%, {x, 0, 10}]
Wolfram Language code: Table[CatalanNumber[n], {n, 0, 10}]

カタラン数は二項係数の差として表すことができる：

Wolfram Language code: CatalanNumber[n] == Binomial[2n, n] - Binomial[2n, n + 1]
Wolfram Language code: Table[%, {n, -6, 6}]
Wolfram Language code: FunctionExpand[%%]//FullSimplify

型乱数は一般化されたベル多項式によって表すことができる：

Wolfram Language code: Table[BellY[Transpose[{1 / Range[n, 1, -1]!, Range[n]!}]], {n, 10}]
Wolfram Language code: Table[CatalanNumber[n], {n, 10}]

CatalanNumberはDifferenceRootとして表すことができる：

Wolfram Language code: DifferenceRootReduce[CatalanNumber[k], k]

FindSequenceFunctionはCatalanNumber数列を認識する：

Wolfram Language code: Table[CatalanNumber[n], {n, 10}]
Wolfram Language code: FindSequenceFunction[%, n]

CatalanNumberの指数母関数：

Wolfram Language code: ExponentialGeneratingFunction[CatalanNumber[n], n, x]

考えられる問題  (1)

カタラン数r TemplateBox[{{-, 1}}, CatalanNumber]は，慣例により，その二項表現によって定義される：

Wolfram Language code: With[{n = -1}, {CatalanNumber[n], Binomial[2n, n] - Binomial[2n, n + 1]}]

値は解析関数の極限値とは異なる：

Wolfram Language code: FunctionExpand[CatalanNumber[n]]
Wolfram Language code: Limit[%, n -> -1]

おもしろい例題  (2)

奇数のカタラン数はCatalanNumber[2k-1]という形式のカタラン数だけである：

Wolfram Language code: Table[Mod[CatalanNumber[2^n - 1], 10], {n, 20}]

カタラン数の和からなるハンケル行列の行列式：

Wolfram Language code: Table[Det[HankelMatrix[CatalanNumber[Range[0, n]] + CatalanNumber[Range[n + 1]], CatalanNumber[Range[n, 2n]] + CatalanNumber[Range[n + 1, 2n + 1]]]], {n, 0, 9}]

フィボナッチ数による式と比較する：

Wolfram Language code: Table[Fibonacci[2n + 3], {n, 0, 9}]
Wolfram Research (2007), CatalanNumber, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/CatalanNumber.html （2014年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2007), CatalanNumber, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/CatalanNumber.html （2014年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2007. "CatalanNumber." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2014. https://reference.wolfram.com/language/ref/CatalanNumber.html.

APA

Wolfram Language. (2007). CatalanNumber. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/CatalanNumber.html

BibTeX

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BibLaTeX

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