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HodgeDual[tensor]

tensor のホッジ(Hodge)双対を与える．

HodgeDual[tensor,dim]

次元 dim のスロットにある tensor を双対化する．

HodgeDual[tensor,dim,slots]

指定の slots にある tensor を双対化する．

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HodgeDual

HodgeDual[tensor]

tensor のホッジ(Hodge)双対を与える．

HodgeDual[tensor,dim]

次元 dim のスロットにある tensor を双対化する．

HodgeDual[tensor,dim,slots]

指定の slots にある tensor を双対化する．

詳細

  • HodgeDual[tensor]では，tensor のすべてのスロットが同じ次元 dim でなければならない．この次元は黙示的な第2引数とみなされる．結果の階数は dim-r である．ただし，r は tensor の階数である．
  • HodgeDual[tensor,dim]は，指定された次元のすべてのスロットにある tensor を双対化する．残りは結果の最後のスロットとして残す．
  • HodgeDual[tensor,dim,slots]では，tensor の指定された slots の次元は dim でなければならない．
  • HodgeDualは，事実上，双対化するスロットを事前に反対称化する．

例題

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例  (2)

三次元ベクトルのホッジ双対：

Wolfram Language code: Normal@HodgeDual[{a, b, c}]

次元3のスカラーのホッジ双対：

Wolfram Language code: Normal@HodgeDual[1, 3]

スコープ  (5)

反対称配列のホッジ双対：

Wolfram Language code: sa = SymmetrizedArray[pos_ :> Subscript[a, pos], {5, 5, 5}, Antisymmetric[{1, 2, 3}]]
Wolfram Language code: SymmetrizedArrayRules[sa]
Wolfram Language code: HodgeDual[sa]
Wolfram Language code: SymmetrizedArrayRules[%]

スカラーのホッジ双対：

Wolfram Language code: HodgeDual[1, 4]

以下の場合は第2引数が必要である：

Wolfram Language code: HodgeDual[1]

いくつかのスロットのみが反対称の配列のホッジ双対：

Wolfram Language code: sa = SymmetrizedArray[pos_ :> Subscript[a, pos], {3, 3, 2, 2}, Antisymmetric[{1, 2}]]

双対化するスロットを指定する：

Wolfram Language code: HodgeDual[sa, 3]//SymmetrizedArrayRules

いくつかのスロットのみのホッジ双対：

Wolfram Language code: sa = SymmetrizedArray[pos_ :> Subscript[a, pos], {3, 3, 3}, Antisymmetric[{1, 2}]]
Wolfram Language code: SymmetrizedArrayRules[sa]
Wolfram Language code: HodgeDual[sa, 3, {1, 2}]
Wolfram Language code: SymmetrizedArrayRules[%]

記号配列のHodgeDual：

Wolfram Language code: $Assumptions = A∈Arrays[{5, 5, 5}, Reals, Antisymmetric[{1, 2, 3}]];

1引数形式あるいは冗長な第2引数を使った特性：

Wolfram Language code: HodgeDual[A]//TensorDimensions
Wolfram Language code: HodgeDual[A, 5]//TensorSymmetry

2引数形式を使って異なる次元を双対化する：

Wolfram Language code: HodgeDual[A, 4]//TensorDimensions
Wolfram Language code: HodgeDual[A, 4]//TensorSymmetry

引数が3つの場合：

Wolfram Language code: HodgeDual[A, 5, {1, 2}]//TensorDimensions
Wolfram Language code: HodgeDual[A, 5, {1, 2}]//TensorSymmetry

特性と関係  (6)

次元 のLeviCivitaTensorはその次元における1のHodgeDualである：

Wolfram Language code: Normal@LeviCivitaTensor[4] === Normal@HodgeDual[1, 4]

任意の正方行列を取る：

Wolfram Language code: a = Array[x, {3, 3}]

これはその行列式を計算する代替法である：

Wolfram Language code: HodgeDual[TensorWedge@@a] === Det[a]

三次元ベクトル場を取る：

Wolfram Language code: v = {v1[x, y, z], v2[x, y, z], v3[x, y, z]};

これはその回転を計算する代替法である：

Wolfram Language code: -2Normal@HodgeDual[D[v, {{x, y, z}}]]
Wolfram Language code: % === Curl[v, {x, y, z}]

ホッジ双対はLeviCivitaTensorによる縮約によっても計算することができる：

Wolfram Language code: A = SymmetrizedArray[pos_ :> a@@pos, {5, 5, 5}, Antisymmetric[{1, 2, 3}]]
Wolfram Language code: HodgeDual[A, 5]
Wolfram Language code: % === 1 / 3!TensorContract[ALeviCivitaTensor[5], {{1, 4}, {2, 5}, {3, 6}}]

反対称配列の二重のホッジ双対は，符号が変わる可能性がある他は，もとの配列と等価である：

Wolfram Language code: sa = SymmetrizedArray[pos_ :> Subscript[a, pos], {4, 4, 4}, Antisymmetric[{1, 2, 3}]]
Wolfram Language code: HodgeDual[sa]
Wolfram Language code: HodgeDual[%] === -sa

記号配列で：

Wolfram Language code: $Assumptions = A∈Arrays[{4, 4, 4}, Antisymmetric[{1, 2, 3}]];
Wolfram Language code: HodgeDual[A]
Wolfram Language code: HodgeDual[%]

次元 の ベクトルのCrossは，そのテンソル積のホッジ双対の( 倍である：

Wolfram Language code: {a, b, c, d}⨯{d, e, f, g}⨯{h, i, j, k}
Wolfram Language code: (4 - 1)!HodgeDual[{a, b, c, d}{d, e, f, g}{h, i, j, k}]
Wolfram Language code: % == %%

同様に，次元 の ベクトルのCrossは，そのウェッジ積のホッジ双対である：

Wolfram Language code: {a, b, c, d}⨯{d, e, f, g}⨯{h, i, j, k} == HodgeDual[{a, b, c, d}{d, e, f, g}{h, i, j, k}]
Wolfram Research (2012), HodgeDual, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/HodgeDual.html.

テキスト

Wolfram Research (2012), HodgeDual, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/HodgeDual.html.

CMS

Wolfram Language. 2012. "HodgeDual." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/HodgeDual.html.

APA

Wolfram Language. (2012). HodgeDual. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/HodgeDual.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_hodgedual, author="Wolfram Research", title="{HodgeDual}", year="2012", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/HodgeDual.html}", note=[Accessed: 05-November-2026]}

BibLaTeX

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