初始和边界值问题

初始 (IVP) 和边界值问题 (BVP) 综述	非线性 IVP 和 BVP
线性 IVP 和 BVP	带有分段系数的 IVP

初始 (IVP) 和边界值问题 (BVP) 综述

DSolve 可用于求解微分方程或微分方程组的通解. 通解提供有关问题的完整解空间结构的信息. 然而，在实践中，人们通常仅对满足与应用领域相关的某些条件的特定解感兴趣. 这些条件通常有两种类型.

解和/或其导数要求在一个单点上有特定的值，例如，和 . 这类问题传统上称为初值问题 (IVP)，因为假定系统从固定的初始点(本例中为0)开始演化.
解需要在一对点上有特定的值，例如，和 . 这些问题称为边值问题 (BVP)，因为点 0 和点 1 被视为应用中感兴趣领域的边界点(或边).

IVP 和 BVP 的符号解需要问题的通解知识. 最后一步，使用初始值或边界值获得特定解，主要涉及代数运算，并且对于 IVP 和 BVP 类似.

由于最终的代数步骤涉及线性方程的解，因此线性微分方程的 IVP 和 BVP 被相当容易地求解. 然而，如果基础方程是非线性的，那么解可以有几个分支，或者来自通解的任意常数可以出现在超越函数的不同参数中. 因此，并非总能完成非线性问题的最终代数步骤. 最后，如果基础方程具有分段（即，不连续）系数，则 IVP 在系数连续的区域上自然地分解为更简单的IVP.

线性 IVP 和 BVP

首先，考虑线性一阶 ODE 的初始值问题.

这是一个线性的一阶 ODE：

请注意，通解是任意常数 C[1] 的线性函数：

求初始条件

的特定解：

这验证了解满足方程和初始条件：

这是一般初始条件

的同一问题的解：

这绘制了不同

值的方程的几个积分曲线. 该图显示，如果参数

位于

和

之间，则解具有拐点，而对于

的其他值，则出现全局最大值或最小值：

这是一个线性二阶方程的解，在

时为

和

规定初始值：

这验证了解满足方程和初始条件：

以下是解的图：

获取问题解的更多信息，设置

：

以下是不同初始方向的解的图. 根据

的值是否小于或大于

，当

，解逼近

或

，这是 ODE 的辅助方程的最大根：

这是一个非齐次线性二阶方程的 BVP：

应当注意，与初始值问题相反，当规定边界值时，没有一般存在或唯一性定理，并且在某些情况下可能没有解.

这个问题没有解，因为通解中 C[2] 项在

和

都消失了. 因此，参数 C[1] 有两个不一致的条件并且解是一个空集：

先前对线性方程的讨论泛化了高阶线性 ODE 和 ODE 线性系统的情况.

以下是针对四阶线性 ODE 的初始值问题 (IVP) 的解：

验证解和初始条件：

由于这是一个四阶 ODE，因此必须指定四个独立条件才能找到 IVP 的特定解. 如果条件数量不足，DSolve 返回的解可能包含一些任意参数，如下所示：

最后，这是一个用于线性 ODE 系统的 IVP 解：

验证解是否满足系统和初始条件：

解

、

和

由变量

参数化，并且可以在平面中单独绘制或作为空间曲线绘制：

非线性 IVP 和 BVP

许多实际应用需要针对非线性 ODE 的 IVP 和 BVP 的解. 例如，考虑逻辑方程，它发生在人口动力学中.

这是逻辑方程：

方程的右边可以扩展为 y[t] 中的二次多项式. 因此，逻辑方程只是一个 Riccati 方程，可以很容易地找到它的通解：

这将内在增长率 r 设置为 1/2，将饱和度级别 K 设置为 4 并求解初始值问题：

这解决了具有符号参数 r 和 K 的逻辑方程的初值问题：

这验证了解满足方程和初始条件：

以下是 r 和 K 的不同值的解的图：

以下是二阶非线性 ODE 的 IVP 示例，其通解可以以显式形式获得：

这验证了解满足方程和初始条件：

最后，这是非线性二阶 ODE 的边值问题. 该解需要满足在 0 和无穷大处的边界条件. 在根据 JacobiSN（EllipticF 的逆）求通解的同时生成 Solve::ifun 消息. 给出 DSolve::bvlim 消息是因为无法为通用解的任一分支计算满足条件 y^′[Infinity]0 所需的限制. 然而，边界值问题的解是使用其他方法来确定通解中的常量 C[1] 和 C[2] 的值：