数值微分方程求解的实用程序包

InterpolatingFunctionAnatomyNDSolveUtilities

InterpolatingFunctionAnatomy

NDSolve 把解作为 InterpolatingFunction 对象返回. 在大多数情况下，简单地把这些作为函数使用可以实现所需的目的，但是有时访问内部的数据是有用的，这包括实际值和 NDSolve 采取步骤时计算的点. 一个InterpolatingFunction 对象的结构被精确编排使得数据的存储更有效，在一个给定点的计算速度更快. 该结构在 Wolfram 语言版本之间可能发生改变，因此访问 InterpolatingFunction 对象的代码对于新的 Wolfram 语言版本可能不适用. DifferentialEquations`InterpolatingFunctionAnatomy` 程序包提供了为将来的 Wolfram 语言版本维护的 InterpolatingFunction 对象中的数据接口.

InterpolatingFunctionDomain[ifun]对 InterpolatingFunction 对象 ifun 的每个维度，返回定义域的一个列表
InterpolatingFunctionCoordinates[ifun]对 InterpolatingFunction 对象 ifun 的每个维度上指定的数据，返回数据坐标的一个列表
InterpolatingFunctionGrid[ifun]返回为 InterpolatingFunction 对象 ifun 指定数据的网格点.
InterpolatingFunctionValuesOnGrid[ifun]通过在每个网格点上计算 InterpolatingFunction 对象 ifun，返回计算所得的值
InterpolatingFunctionInterpolationOrder[ifun]返回对 InterpolatingFunction 对象 ifun 的每个维度所用的插值顺序
InterpolatingFunctionDerivativeOrder[ifun]返回基本函数的导数的阶数，其值当计算 InterpolatingFunction 对象 ifun 时指定

InterpolatingFunction 对象的分解.

下面加载该程序包：

一个 InterpolatingFunctionAnatomy 程序包变得有用的常见情况是：当 NDSolve 无法在指定的整个值域上计算一个解，并且用户想要把所有计算所得的解画出图形，以便于尝试对可能出现的错误有更好的理解.

下面是一个微分方程的例子，对这个微分方程不能计算到指定的端点：
下面得到这个区域（domain）：
一旦这个区域域已经在一个列表中返回，则很容易使用 Part 获取所需的端点，并且画出图形：

从图形中，很显然可以看出形成了一个奇异点，不可能对系统进一步积分.

有时候，查看 NDSolve 在哪里采取步进是有用的. 获取坐标对于实现此目的是有用的.

下面显示在采取的每个步骤中 NDSolve 计算所得的值. 由此可以很明显地看出，将近所有步骤都用来试图解决奇异点：

该程序包对于分析偏微分方程的计算解尤其有用.

使用这个初始条件，Burgers 方程形成了一个陡峭的前端（front）：
下面显示了在每个维度上使用的点数：
以下显示在每个维度上使用的插值阶数：
以下表明无法解决前端（front）问题已经表现为数值不稳定性：
以下显示在时间积分的端点，在空间网格点计算所得的值：

从点图中很容易看出，前端（front）还没有被分辨.

以下产生一个三维图形，显示了每个空间网格点的时间演化. 初始条件用红色显示：

当采用 InterpolatingFunction 对象的一个导数时，则返回一个新的 InterpolatingFunction 对象，那么在一个点上计算时，它会给出要求的导数. InterpolatingFunctionDerivativeOrder 是决定哪种导数应该计算的一种方法.

该导数返回一个新的 InterpolatingFunction 对象：
下面显示将计算哪一阶导数：

NDSolveUtilities

我们已经编写了许多实用例程来用来对不同的 NDSolve 方法进行考查和比较. 这些函数收集在程序包 DifferentialEquations`NDSolveUtilities` 中.

CompareMethods[sys,refsol,methods,opts]返回应用到系统 sys 的不同方法的统计
FinalSolutions[sys,sols]关于对应于系统 sys 的不同解 sols，在数值积分的末尾返回解的值
InvariantErrorPlot[invts,dvars,ivar,sol,opts]返回解 sol 的不变量 invts 中的误差的图形
RungeKuttaLinearStabilityFunction[amat,bvec,var]使用变量 var 返回朗格-库塔方法的线性稳定性函数，其中系数矩阵 amat 和权向量 bvec
StepDataPlot[sols,opts]以对数度量返回解 sols 采用的步长的图形

NDSolveUtilities 程序包中提供的函数.

下面加载该程序包：

分析朗格-库塔方法的有益途径是当应用到一个标量线性测试问题时，研究他们如何表现（见程序包 FunctionApproximations.m）.

下面对阶数为4的2-阶段隐式朗格-库塔高斯方法的系数进行（精确或者精度无限高）的负值：
下面计算线性稳定性函数，它对应于在原点的指数的 (2,2) Padé 近似：

函数 CompareMethods、FinalSolutions、RungeKuttaLinearStabilityFunction 和 StepDataPlot 的例子可以在 "NDSolve 的 “ExplicitRungeKutta” 方法" 中找到.

函数 InvariantErrorPlot 的例子可以在 "NDSolve 的“Projection”方法" 中找到.

InvariantErrorPlot 选项

函数 InvariantErrorPlot 具有许多可以用来控制结果形式的选项.

选项名
默认值
InvariantDimensionsAutomatic指定不变量的维度
InvariantErrorFunctionAbs[Subtract[#1,#2]]&指定用于比较误差的函数
InvariantErrorSampleRateAutomatic指定对误差进行采样的频率

函数 InvariantErrorPlot 的选项.

InvariantDimensions 的默认值用来从输入的结构确定维度，Dimensions[invts].

InvariantErrorFunction 的默认值是一个计算绝对误差的函数.

InvariantErrorSampleRate 的默认值是如果所采取的步骤小于1000，则对所有点采样，在这个阈值之上，则使用一个对数采样率.