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それぞれの頂点を一度だけ訪れてループを作成する.
dodecahedron = PolyhedronData["Dodecahedron", "Skeleton"];
hcycle = First[FindHamiltonianCycle[dodecahedron]]
Animate[HighlightGraph[dodecahedron, PathGraph[hcycle[[1 ;; n]]], GraphHighlightStyle -> "Thick"], {n, 0, Length[hcycle], 1}]