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$MachineEpsilon

1.0と機械精度数として表すことができる直近の数との差を返す．

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$MachineEpsilon

$MachineEpsilon

1.0と機械精度数として表すことができる直近の数との差を返す．

詳細

  • 通常，$MachineEpsilonは，2-n+1である．ただし，n は機械精度の浮動小数点数の内部表示に使用される二進数のビット数とする．
  • $MachineEpsilonは，機械精度の数の粗さを計る．

例題

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例  (1)

Wolfram Language code: $MachineEpsilon

$MachineEpsilonに1を加えた結果は1とは異なる：

Wolfram Language code: x = 1. + $MachineEpsilon
Wolfram Language code: x - 1.

$MachineEpsilonの端数部分を加えると結果的に丸めになる：

Wolfram Language code: y = 1. + {0.3, 0.5, 0.7}$MachineEpsilon
Wolfram Language code: y - 1.

スコープ  (2)

$MachineEpsilon/2を1から引いた結果は1とは異なる：

Wolfram Language code: x = 1. - $MachineEpsilon / 2
Wolfram Language code: 1. - x

機械イプシロンをアルゴリズム的に求める：

Wolfram Language code: Block[{ϵ = 1.}, While[Not[PossibleZeroQ[(1. + ϵ) - 1.]], ϵ /= 2];ϵ * 2]
Wolfram Language code: % == $MachineEpsilon

アプリケーション  (2)

他の機械数よりも大きい直近の機械数を求める：

Wolfram Language code: x = RandomReal[{1, 100}]
Wolfram Language code: y = x * (1. + $MachineEpsilon);

と は異なる：

Wolfram Language code: x - y

と は最下位のビットだけが異なる：

Wolfram Language code: RealDigits[x, 2]
Wolfram Language code: RealDigits[y, 2]

連続誤差の上限がある多項式評価のためのホーナー(Horner)法：

Wolfram Language code: horner[p_List, x_] := Module[{u, y, mu}, y = Last[p]; mu = Abs[y] / 2; Do[y = x * y + c;mu = Abs[x] * mu + Abs[y], {c, Take[p, {-2, 1, -1}]}]; (* u is "unit roundoff"*) u = $MachineEpsilon / 2; mu = u * (2 * mu - Abs[y]); {y, mu}]

大きい係数を持つ多項式：

Wolfram Language code: poly = N[Expand[Product[(x - i), {i, 20}]]]

x=10で評価する．誤差は大きいが限界内である：

Wolfram Language code: horner[CoefficientList[poly, x], 10.]

特性と関係  (3)

$MachineEpsilonは2のベキ乗である：

Wolfram Language code: Log[2., $MachineEpsilon]

$MachineEpsilonは10-MachinePrecisionの2倍である：

Wolfram Language code: $MachineEpsilon == 2 / 10 ^ MachinePrecision

これは実質的にである．ただし， は機械精度のビット数である：

Wolfram Language code: b = MachinePrecision * Log[2., 10.]
Wolfram Language code: 2 ^ (1 - b) == $MachineEpsilon

1と1+$MachineEpsilonは最下位のビットのみが異なる：

Wolfram Language code: RealDigits[1., 2]
Wolfram Language code: RealDigits[1. + $MachineEpsilon, 2]

おもしろい例題  (1)

機械数の解像度は1の少し下が1の少し上より丁度2倍よい：

Wolfram Language code: Plot[(1 + x) - 1, {x, -2$MachineEpsilon, 2 $MachineEpsilon}, PlotRange -> All]
Wolfram Research (1991), $MachineEpsilon, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/$MachineEpsilon.html.

テキスト

Wolfram Research (1991), $MachineEpsilon, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/$MachineEpsilon.html.

CMS

Wolfram Language. 1991. "$MachineEpsilon." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/$MachineEpsilon.html.

APA

Wolfram Language. (1991). $MachineEpsilon. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/$MachineEpsilon.html

BibTeX

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BibLaTeX

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