Apart

Apart[expr]

有理式を最小の分母を使った項の和に書き換える．

Apart[expr,var]

var 以外のすべての変数を定数として取り扱う．

詳細とオプション

Apartは，有理式の部分分数分解を与える．
Apart[expr,var]は，式 expr を多項式の比の和とともに，分子側の多項式の var における次元がこれに対応する分母側の多項式の次元より低くなるような var の多項式として書き直す．
Apartは，以下のオプションを取る．
Modulus 0 整数に仮定する法

Trig False 代数変換だけでなく三角変換も行うかどうか
Apart[expr,Trig->True]の設定では，三角関数を指数型の有理関数として取り扱う．
Apartは自動的に expr 中のリスト，方程式，不等式，論理関数に縫い込まれる．

例題

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例 (2)

部分分数に分解する：

Wolfram Language code: Apart[1 / ((1 + x)(5 + x))]

有理関数の部分分数表現を計算する：

Wolfram Language code: Apart[(x ^ 5 - 2) / ((1 + x + x ^ 2)(2 + x)(1 - x))]

スコープ (8)

基本的な用法 (6)

有理関数を部分分数に分解する：

Wolfram Language code: Apart[16x / ((1 + x) ^ 2(5 + x))]

Apartは記号的なパラメータも扱える：

Wolfram Language code: Apart[1 / ((x + a) (x + b) (x + c))]

を主変数，を定数として扱う：

Wolfram Language code: Apart[(x + y) / ((x + 1)(y + 1)(x - y)), x]

を主変数，を定数として扱う：

Wolfram Language code: Apart[(x + y) / ((x + 1)(y + 1)(x - y)), y]

ここではApartはを主変数として選び，を定数として扱う：

Wolfram Language code: Apart[(x + y) / ((x + 1)(y + 1)(x - y))]

Apartは，多項式では無い式も扱える：

Wolfram Language code: Apart[2 ^ x / ((4 ^ x + 1) (2 ^ x + 4))]

Apartは，要素単位で方程式や不等式に縫い込まれる：

Wolfram Language code: Apart[1 < (x + 1) / (x - 1) < 2]

累乗根がある部分分数表現を計算する：

Wolfram Language code: Apart[1 / ((Sqrt[x] + 2)(Sqrt[x] + 3)), x]

高度な用法 (2)

を法とした整数上で部分分数表現を計算する：

Wolfram Language code: Apart[(x + 1) / (x - 1), Modulus -> 3]

一般的な三角関数の公式に従って部分分数表現を計算する：

Wolfram Language code: Apart[3Sin[x] / ((Sin[x] + 1) (Sin[x] + 4)), Trig -> True]

オプション (3)

Modulus (2)

有理数上での部分分数分解：

Wolfram Language code: Apart[(x ^ 2 + 1) / (x + 1)]

2を法とした整数上での部分分数分解：

Wolfram Language code: Apart[(x ^ 2 + 1) / (x + 1), Modulus -> 2]

Trig (1)

三角関数の式の部分分数分解：

Wolfram Language code: Apart[Cos[x] / (1 + Sin[x]), Trig -> True]

Wolfram Language code: Apart[1 / Sin[4 x], Trig -> True]

アプリケーション (1)

多項式の有理式の積分は，しばしば部分分数に分解することで計算される：

Wolfram Language code: f = 16x / ((1 + x) ^ 2(5 + x))

積分の計算には，まずApartを有理式に適用する：

Wolfram Language code: Apart[f]

Integrateを各被価数に別々に適用し，結果を合計する：

Wolfram Language code: ans = Integrate[-(4/(1 + x)^2), x] + Integrate[(5/1 + x), x] + Integrate[-(5/5 + x), x]

答を確かめる：

Wolfram Language code: D[ans, x] - f//Together

特性と関係 (2)

TogetherはApartの逆の働きをする：

Wolfram Language code: Apart[1 / ((1 + x) (5 + x))]

Wolfram Language code: Together[%]

有理関数：

Wolfram Language code: ratfun = (x ^ 7 - x ^ 6 + x ^ 3 - 5x + 3) / (x ^ 6 + 3x ^ 5 + 6x ^ 3 - 39x ^ 2 - 105x + 70);

Apartで書き換える：

Wolfram Language code: Apart[ratfun, x]

PartialFractionsは，分母を因数分解するために代数拡張を使わないように指定することでApartと同じように動作するようになる：

Wolfram Language code: PartialFractions[ratfun, x, Extension -> None]

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