ArcCurvature

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`ArcCurvature`

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ArcCurvature[{x₁,…,x_n},t]

パラメータ化された曲線（その直交座標 x_i が t の関数である）の曲率を与える．

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ArcCurvature[{x₁,…,x_n},t,chart]

x_i を指定された座標チャート内の座標として解釈する．

詳細

弧の曲率は，符号なしの曲率あるいはフレネ(Frenet)曲率と呼ばれることがある．
三次元ユークリッド空間における曲線の弧の曲率は， $(TemplateBox[{{{{x, ^, {(, ', )}}, (, t, )}, x, {{x, ^, {(, {', '}, )}}, , {(, t, )}}}}, Norm])/(TemplateBox[{{{x, ^, {(, ', )}}, (, t, )}}, Norm]^3)$ で与えられる．
一般空間では，曲線の弧の曲率は， $TemplateBox[{{{D, /, {(, {D, , t}, )}}, {{(, { , {{x, ^, {(, ', )}}, (, t, )}}, )}, /, {(, TemplateBox[{{{x, ^, {(, ', )}}, (, t, )}}, Norm], )}}}}, Norm]$ で与えられる．
ArcCurvature[x,t]では，x がスカラー式の場合は，ArcCurvatureはパラメトリック曲線{t,x}の曲率を与える．
ArcCurvatureの第3引数中の座標チャートは，CoordinateChartDataの第1引数におけるのと同じように，{coordsys,metric,dim}で指定することができる．dim を省略した短縮形を使うこともできる．

例題

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例 (2)基本的な使用例

円は定曲率を持つ：

In[1]:=1

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-767rf0

Out[1]=1

極座標で示されたフェルマの螺線の曲率：

In[1]:=1

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-wfp29r

Out[1]=1

In[2]:=2

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-3o27b4

Out[2]=2

曲線の両方の枝を可視化する：

In[3]:=3

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-1mj9i7

Out[3]=3

スコープ (5)標準的な使用例のスコープの概要

球体上の航程線の曲率：

In[1]:=1

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-j3oqu6

Out[1]=1

In[2]:=2

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-n1dvga

Out[2]=2

放物線の曲率は頂点で最大()になり，無限大で0になる：

In[1]:=1

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-o7nrbh

Out[1]=1

In[2]:=2

✖

https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-3m7wb0

Out[2]=2

測定基準，座標系，パラメータを指定する曲率：

In[1]:=1

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-ymvnyf

Out[1]=1

緯線と経線は平坦空間内または二次元球体上の曲線と考えることができる：

In[1]:=1

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-5nh5f

Out[1]=1

三次元空間内の曲線と同じように，これらは，その半径に反比例する予想通りの曲率を持つ：

In[2]:=2

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-0owsxi

Out[2]=2

In[3]:=3

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-k567yv

Out[3]=3

球体上では，測地線である経線の曲率は0であるが，赤道以外の緯線はそうではない：

In[4]:=4

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-iqhk2v

Out[4]=4

In[5]:=5

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-wg4bq3

Out[5]=5

In[6]:=6

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-x4vp7w

Out[6]=6

より高次元のユークリッド空間における曲率：

In[1]:=1

✖

https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-62tex2

Out[1]=1

アプリケーション (2)この関数で解くことのできる問題の例

ベルヌーイのレムニスケートの曲率半径を計算する：

In[1]:=1

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-6tqm5b

In[2]:=2

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-ea4uxw

Out[2]=2

In[3]:=3

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-kjuhvx

Out[3]=3

Fary–Milnorの定理には，合計曲率がより小さい閉曲線は結び目ではあり得ないとある．したがって，合計曲率がの円もまた結び目ではあり得ない：

In[1]:=1

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-ll1uhd

Out[1]=1

In[2]:=2

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-8wip7z

Out[2]=2

三つ葉結び目は少なくとも合計曲率がなければならない．そして，事実そうなっている：

In[3]:=3

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-z872im

Out[3]=3

In[4]:=4

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-1v0axc

Out[4]=4

In[5]:=5

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-fpxnqk

Out[5]=5

特性と関係 (2)この関数の特性および他の関数との関係

ArcCurvatureは単一の曲率のみを返す：

In[1]:=1

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-dkot0f

Out[1]=1

FrenetSerretSystemは，次元で，個の曲率すべてを返す：

In[2]:=2

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-bc5y34

Out[2]=2

ArcCurvatureには符号は付かない：

In[1]:=1

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-v6t9uq

Out[1]=1

In[2]:=2

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-b5q6xo

Out[2]=2

FrenetSerretSystemから，二次元の符号付き曲率を抽出する：

In[3]:=3

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-sde2b4

Out[3]=3

In[4]:=4

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https://wolfram.com/xid/0j0csfpd15pmmq-l2zjgv

Out[4]=4

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