BarnesG

BarnesG[z]

给出巴尼斯 G 函数 TemplateBox[{z}, BarnesG].

更多信息

  • BarnesG 也被称作双伽玛函数.
  • 数学函数，适宜于符号和数值运算.
  • 对于正整数 ，巴尼斯 G 函数的定义为 TemplateBox[{n}, BarnesG]=product_(k=1)^(n-1)TemplateBox[{k}, Gamma]，在其他情况下，定义为 TemplateBox[{z}, BarnesG]=(2 pi)^(z/2) exp((z-1) (TemplateBox[{z}, LogGamma]-z/2)-TemplateBox[{{-, 2}, z}, PolyGamma2]).
  • 巴尼斯 G 函数满足函数方程 TemplateBox[{{z, +, 1}}, BarnesG]=TemplateBox[{z}, BarnesG] TemplateBox[{z}, Gamma].
  • BarnesG[z] 是一个没有分支切割不连续的 z 的整体函数.
  • 对于某些特殊参数，BarnesG 会自动用精确精度进行计算.
  • BarnesG 可求任意数值精度的值.
  • BarnesG 自动逐项作用于列表的各个元素.
  • BarnesG 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »

范例

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基本范例  (5)

数值化计算：

在实数的子集上绘图：

在复数的子集上绘图：

在原点的级数展开：

在 Infinity 的级数展开：

范围  (27)

数值运算  (6)

数值运算：

高精度运算：

输出精度与输入精度一致：

复数输入：

进行高效的高精度运算：

使用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最坏情况下的保证区间：

或用 Around 计算一般情况下的统计区间：

计算数组中每个元素的值：

或用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 BarnesG 函数：

特殊值  (4)

无穷处的值：

在零处的值：

在半整数参数下进行符号化运算：

使用 1/4 的整数倍进行符号化运算：

求第一个正极大值：

可视化  (2)

绘制 BarnesG 函数：

绘制 的实部：

绘制 的虚部：

函数的属性  (10)

BarnesG 对所有实数和复数有定义：

BarnesG 的近似值域：

BarnesG 是 x 的解析函数：

BarnesG 既不是非递增，也不是非递减：

BarnesG 不是单射函数：

BarnesG 是满射函数：

BarnesG 既不是非负，也不是非正：

BarnesG 没有奇点或断点：

BarnesG 既不凸，也不凹：

TraditionalForm 格式：

微分  (2)

关于 z 的一阶导数：

关于 z 的高阶导数：

绘制关于 z 的高阶导数：

级数展开式  (3)

用 Series 求泰勒展开式：

绘制 处的前三个近似式：

普通点上的泰勒展开式：

求 Infinity 处的级数展开式：

应用  (5)

BarnesG 的积分值与 superfactorial 相关：

BarnesG 可以通过符号求解产生：

计算存储一个数值较大的整数所需的比特数：

与精确结果进行比较：

当 为一个奇质数时，威尔逊定理（Wilson's theorem） 有 TemplateBox[{{{{(, {p, -, 1}, )}, !!}, =, {G, (, {p, +, 1}, )}}, p}, Mod]. 对前几个质数进行验证：

定义一个由前 个正整数和一个整数位移 构建的柯西矩阵：

显示任意 值的柯西矩阵：

这个柯西矩阵的行列式可以用 BarnesG 表示. 在前几种情况下，用 的具体数值进行验证：

属性和关系  (2)

BarnesG 满足一个微分方程：

FindSequenceFunction 可以识别 BarnesG 序列：

巧妙范例  (3)

用贝尔数（Bell number）建立的汉克尔矩阵的行列式：

用欧拉数建立的汉克尔矩阵的行列式：

希尔伯特矩阵的行列式可以用巴尼斯 G 函数来表示：

验证前几种情况的公式：

Wolfram Research (2008)，BarnesG，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/BarnesG.html （更新于 2022 年）.

文本

Wolfram Research (2008)，BarnesG，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/BarnesG.html （更新于 2022 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2008. "BarnesG." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2022. https://reference.wolfram.com/language/ref/BarnesG.html.

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Wolfram 语言. (2008). BarnesG. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/BarnesG.html 年

BibTeX

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