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BilateralHypergeometricPFQ[{a1,…,ap},{b1,…,bq},z]

両側超幾何関数 である．

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BilateralHypergeometricPFQ

BilateralHypergeometricPFQ[{a1,…,ap},{b1,…,bq},z]

両側超幾何関数 である．

詳細

  • 両側超幾何級数は項について一般化された超幾何級数と同じような定義を持つが，すべての整数を合計すると二重無限級数が形成される．
  • 記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
  • は級数展開 sum_(k=-infty)^(infty)TemplateBox[{{a, _, 1}, k}, Pochhammer]...TemplateBox[{{a, _, p}, k}, Pochhammer]/TemplateBox[{{b, _, 1}, k}, Pochhammer]...TemplateBox[{{b, _, q}, k}, Pochhammer]z^kを持つ．ただし，TemplateBox[{a, k}, Pochhammer]はPochhammer記号である．
  • 両側超幾何級数 は， で であれば収束する．
  • のとき，両側超幾何級数 はBorel正則化を使って計算される．
  • パラメータ はどれも正の整数であってはならず，はどれも負の整数であってはならない．
  • BilateralHypergeometricPFQは任意の数値精度で評価できる．
  • 特別な引数の場合，BilateralHypergeometricPFQは自動的に厳密値を計算する．
  • BilateralHypergeometricPFQは自動的にリストに縫い込まれる．

例題

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例  (3)

数値的に評価する：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, 5.4]
Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, -1 / 3}, 5.4]

の実部と虚部をプロットする：

Wolfram Language code: ReImPlot[BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, x], {x, 0, 0.9}]

原点における級数展開：

Wolfram Language code: Series[ BilateralHypergeometricPFQ[{a1, a2, a3}, {b1, b2}, z], {z, 0, 2}]

スコープ  (18)

数値評価  (4)

高精度で評価する：

Wolfram Language code: N[BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, 5], 30]

出力精度は入力精度に従う：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, 5`20]

複素引数とパラメータについて評価する：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2I, 3 / 4I}, {1 / 4I, 1 / 3I}, 5`20I]

BilateralHypergeometricPFQを高精度で効率的に評価する：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2I, 3 / 4I}, {1 / 4I, 1 / 3I}, 5`100]//Timing
Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2I, 3 / 4I}, {1 / 4I, 1 / 3I}, 5`2000];//Timing

BilateralHypergeometricPFQはその第3引数のリストに要素単位で縫い込まれる：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, {0.1, 0.3, 0.5}]

特定の値  (3)

特別なパラメータの場合，BilateralHypergeometricPFQを評価すると自動的により簡単な関数になる：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2}, {1}, z]
Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 2}, {1, 5 / 2}, z]

におけるBilateralHypergeometricPFQ：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 1 / 3}, {1 / 4, 1 / 5, 1 / 6}, 1.]

の際の におけるBilateralHypergeometricPFQ：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{a1, a2}, {b1, b2}, 0]

積分  (2)

BilateralHypergeometricPFQを積分する：

Wolfram Language code: Integrate[BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, z], z]

BilateralHypergeometricPFQの定積分：

Wolfram Language code: Integrate[BilateralHypergeometricPFQ[{0.5, 0.75}, {0.25, 0.3}, z], {z, 1 / 3, 1 / 2}]

微分  (1)

特定のBilateralHypergeometricPFQの一次導関数：

Wolfram Language code: D[BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, z], z]

このBilateralHypergeometricPFQの 次導関数：

Wolfram Language code: D[BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, z], {z, n}]

級数展開  (3)

原点におけるBilateralHypergeometricPFQの級数展開を計算する：

Wolfram Language code: Series[BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, z], {z, 0, 1}]

BilateralHypergeometricPFQのInfinityにおける級数展開を計算する：

Wolfram Language code: Series[BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2}, {1 / 3}, z], {z, ∞, 1}]

BilateralHypergeometricPFQの生成点における級数展開を計算する：

Wolfram Language code: Series[BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, z], {z, z0, 1}]

可視化  (2)

の実部と虚部をプロットする：

Wolfram Language code: ReImPlot[BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, z], {z, -1, 0.9}]

の実部をプロットする：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Re[BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, z]], {z, -1 / 2 - 1 / 2I, 1 / 2 + 1 / 2I}]

の虚部をプロットする：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Im[BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, z]], {z, -1 / 2 - 1 / 2I, 1 / 2 + 1 / 2I}]

関数の特性  (3)

におけるは，のときは収束する：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 2}, {9 / 4, 13 / 4}, 1.]

にはパラメータ順序の対称性がある：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{a1, a2, a3}, {b1, b2}, z] == BilateralHypergeometricPFQ[{a3, a2, a1}, {b2, b1}, z]

慣用形による表現：

Wolfram Language code: TraditionalForm[BilateralHypergeometricPFQ[{a1, a2, a3}, {b1, b2}, z]]

アプリケーション  (1)

BilateralHypergeometricPFQを介して二重無限和を計算する：

Wolfram Language code: Sum[(Pochhammer[a, k]/Pochhammer[b, k])z^k, {k, -∞, ∞}]
Wolfram Language code: Sum[(Pochhammer[1 / 2, n]/Pochhammer[1, n])z^n, {n, -∞, ∞}]//AbsoluteTiming
Wolfram Language code: Sum[(Pochhammer[1 / 3, n]/Pochhammer[1, n])z^n, {n, -∞, ∞}]//AbsoluteTiming
Wolfram Language code: Sum[(Pochhammer[a1, n]Pochhammer[a2, n]/Pochhammer[b1, n]Pochhammer[b2, n])z^n, {n, -∞, ∞}]//AbsoluteTiming

特性と関係  (2)

BilateralHypergeometricPFQは，2つのHypergeometricPFQの和として書けることがある：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, 3 / 10`20]
Wolfram Language code: HypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4, 1}, {1 / 4, 1 / 3}, 3 / 10`10] + HypergeometricPFQ[{1, 3 / 4, 2 / 3}, {1 / 2, 1 / 4}, 10 / 3] - 1

BilateralHypergeometricPFQは初等関数に簡約されることがある：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2}, {1}, z]

考えられる問題  (1)

のときBilateralHypergeometricPFQはBorel正則化を使うが，これには時間がかかるかもしれない：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3, 1 / 5}, 0.3]//AbsoluteTiming

のときは評価が速い：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, 0.3]//AbsoluteTiming

おもしろい例題  (1)

BilateralHypergeometricPFQはより簡単な特殊関数に自動的に簡約されることがある：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQlist = Inactivate[...];
Wolfram Language code: Grid[...]//TraditionalForm
Wolfram Research (2024), BilateralHypergeometricPFQ, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/BilateralHypergeometricPFQ.html.

テキスト

Wolfram Research (2024), BilateralHypergeometricPFQ, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/BilateralHypergeometricPFQ.html.

CMS

Wolfram Language. 2024. "BilateralHypergeometricPFQ." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/BilateralHypergeometricPFQ.html.

APA

Wolfram Language. (2024). BilateralHypergeometricPFQ. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/BilateralHypergeometricPFQ.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_bilateralhypergeometricpfq, author="Wolfram Research", title="{BilateralHypergeometricPFQ}", year="2024", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/BilateralHypergeometricPFQ.html}", note=[Accessed: 17-August-2026]}

BibLaTeX

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