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BilateralHypergeometricPFQ[{a1,…,ap},{b1,…,bq},z]

是双边超几何函数 .

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按以下格式引用：

BilateralHypergeometricPFQ

BilateralHypergeometricPFQ[{a1,…,ap},{b1,…,bq},z]

是双边超几何函数 .

更多信息

  • 双边超几何级数的项与广义超几何级数具有类似的定义，但是它对所有整数求和，因此形成了一个双向无穷级数.
  • 数学函数，适用于符号和数值操作.
  • 具有级数展开式 sum_(k=-infty)^(infty)TemplateBox[{{a, _, 1}, k}, Pochhammer]...TemplateBox[{{a, _, p}, k}, Pochhammer]/TemplateBox[{{b, _, 1}, k}, Pochhammer]...TemplateBox[{{b, _, q}, k}, Pochhammer]z^k，其中 TemplateBox[{a, k}, Pochhammer] 是 Pochhammer 符号.
  • 如果 且 ，双边超几何级数 是收敛的.
  • 当 时，双边超几何函数 使用 Borel 正则化计算.
  • 参数 不能为正整数， 不能为负整数.
  • BilateralHypergeometricPFQ 可以计算为任意数值精度.
  • 对于某些特殊参数，BilateralHypergeometricPFQ 自动计算出精确值.
  • BilateralHypergeometricPFQ 自动在列表上进行线程操作.

范例

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基本范例  (3)

数值计算：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, 5.4]
Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, -1 / 3}, 5.4]

绘制 的实数部分和复数部分：

Wolfram Language code: ReImPlot[BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, x], {x, 0, 0.9}]

原点的级数展开：

Wolfram Language code: Series[ BilateralHypergeometricPFQ[{a1, a2, a3}, {b1, b2}, z], {z, 0, 2}]

范围  (18)

数值运算  (4)

运算至高精度：

Wolfram Language code: N[BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, 5], 30]

输出的精度与输入的精度一致：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, 5`20]

对于复数参数和自变量进行求值：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2I, 3 / 4I}, {1 / 4I, 1 / 3I}, 5`20I]

高精度高效地运算 BilateralHypergeometricPFQ：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2I, 3 / 4I}, {1 / 4I, 1 / 3I}, 5`100]//Timing
Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2I, 3 / 4I}, {1 / 4I, 1 / 3I}, 5`2000];//Timing

BilateralHypergeometricPFQ 在其第三个参数上逐元素线性作用于列表：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, {0.1, 0.3, 0.5}]

具体值  (3)

对于某些参数，BilateralHypergeometricPFQ 自动运算为较简单的函数：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2}, {1}, z]
Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 2}, {1, 5 / 2}, z]

BilateralHypergeometricPFQ 在 处：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 1 / 3}, {1 / 4, 1 / 5, 1 / 6}, 1.]

对于 的情况，BilateralHypergeometricPFQ 在 处：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{a1, a2}, {b1, b2}, 0]

积分  (2)

对 BilateralHypergeometricPFQ 积分：

Wolfram Language code: Integrate[BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, z], z]

BilateralHypergeometricPFQ 的定积分：

Wolfram Language code: Integrate[BilateralHypergeometricPFQ[{0.5, 0.75}, {0.25, 0.3}, z], {z, 1 / 3, 1 / 2}]

求导  (1)

特定 BilateralHypergeometricPFQ 的一阶导数：

Wolfram Language code: D[BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, z], z]

BilateralHypergeometricPFQ 的 阶导数：

Wolfram Language code: D[BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, z], {z, n}]

级数展开  (3)

计算 BilateralHypergeometricPFQ 在原点处的级数展开式：

Wolfram Language code: Series[BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, z], {z, 0, 1}]

计算 BilateralHypergeometricPFQ 在 Infinity 处的级数展开式：

Wolfram Language code: Series[BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2}, {1 / 3}, z], {z, ∞, 1}]

计算 BilateralHypergeometricPFQ 在通点处的级数展开：

Wolfram Language code: Series[BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, z], {z, z0, 1}]

可视化  (2)

绘制 的实数部分和复数部分：

Wolfram Language code: ReImPlot[BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, z], {z, -1, 0.9}]

绘制 的实部：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Re[BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, z]], {z, -1 / 2 - 1 / 2I, 1 / 2 + 1 / 2I}]

绘制 的虚部：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Im[BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, z]], {z, -1 / 2 - 1 / 2I, 1 / 2 + 1 / 2I}]

函数性质  (3)

当 时， 在 处收敛:

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 2}, {9 / 4, 13 / 4}, 1.]

具有参数次序对称性：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{a1, a2, a3}, {b1, b2}, z] == BilateralHypergeometricPFQ[{a3, a2, a1}, {b2, b1}, z]

传统格式：

Wolfram Language code: TraditionalForm[BilateralHypergeometricPFQ[{a1, a2, a3}, {b1, b2}, z]]

应用  (1)

通过 BilateralHypergeometricPFQ 计算双向无穷和：

Wolfram Language code: Sum[(Pochhammer[a, k]/Pochhammer[b, k])z^k, {k, -∞, ∞}]
Wolfram Language code: Sum[(Pochhammer[1 / 2, n]/Pochhammer[1, n])z^n, {n, -∞, ∞}]//AbsoluteTiming
Wolfram Language code: Sum[(Pochhammer[1 / 3, n]/Pochhammer[1, n])z^n, {n, -∞, ∞}]//AbsoluteTiming
Wolfram Language code: Sum[(Pochhammer[a1, n]Pochhammer[a2, n]/Pochhammer[b1, n]Pochhammer[b2, n])z^n, {n, -∞, ∞}]//AbsoluteTiming

属性和关系  (2)

BilateralHypergeometricPFQ 可以写成两个 HypergeometricPFQ 之和：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, 3 / 10`20]
Wolfram Language code: HypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4, 1}, {1 / 4, 1 / 3}, 3 / 10`10] + HypergeometricPFQ[{1, 3 / 4, 2 / 3}, {1 / 2, 1 / 4}, 10 / 3] - 1

BilateralHypergeometricPFQ 可以简化为初等函数：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2}, {1}, z]

可能存在的问题  (1)

当 时，BilateralHypergeometricPFQ 使用 Borel 正则化，这可能很耗时：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3, 1 / 5}, 0.3]//AbsoluteTiming

对于 的情形，运算很快：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQ[{1 / 2, 3 / 4}, {1 / 4, 1 / 3}, 0.3]//AbsoluteTiming

巧妙范例  (1)

BilateralHypergeometricPFQ 可以自动简化为更简单的特殊函数：

Wolfram Language code: BilateralHypergeometricPFQlist = Inactivate[...];
Wolfram Language code: Grid[...]//TraditionalForm
Wolfram Research (2024)，BilateralHypergeometricPFQ，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/BilateralHypergeometricPFQ.html.

文本

Wolfram Research (2024)，BilateralHypergeometricPFQ，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/BilateralHypergeometricPFQ.html.

CMS

Wolfram 语言. 2024. "BilateralHypergeometricPFQ." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/BilateralHypergeometricPFQ.html.

APA

Wolfram 语言. (2024). BilateralHypergeometricPFQ. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/BilateralHypergeometricPFQ.html 年

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_bilateralhypergeometricpfq, author="Wolfram Research", title="{BilateralHypergeometricPFQ}", year="2024", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/BilateralHypergeometricPFQ.html}", note=[Accessed: 10-August-2026]}

BibLaTeX

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