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Coth

给出 z 的双曲余切.

更多信息

数学函数，适宜于符号和数值运算.
Cosh[z]/Sinh[z] 自动转换为 Coth[z]. TrigFactorList[expr] 实现分解.
对于某些特殊参数，Coth 自动运算出精确值.
Coth 可求任意数值精度的值.
Coth 自动逐项作用于列表的各个元素. »
Coth 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »

背景

Coth 是双曲余切函数，是三角学中普遍使用的 Cot 圆函数的双曲类比. Coth[α] 定义为对应的双曲余弦和双曲正弦函数的比值，即 . Coth 也可以定义为，其中是自然对数 Log 的底数.
当变量是有理数的（自然）对数时，Coth 会自动计算出精确值. 当给出精确数值表达式作为变量时，Coth 可以算出任意精度的数值结果. TrigFactorList 可将包含 Coth 的表达式因式分解为包含 Sinh、Cosh、Sin 和 Cos 的单项式. 对包含 Coth 的符号表达式，其他适用的操作运算有 TrigToExp、TrigExpand、Simplify 和 FullSimplify.
Coth 自动逐项作用于列表和矩阵. 相比之下，MatrixFunction 则可用于给出整个方阵的双曲余切值（即用矩阵幂次代替普通幂次的双曲余切函数的幂级数）而不是单个矩阵元素的双曲余切值.
对小的负的 x 值 Coth[x] 趋向于而对大的正的 x 值则趋向于 . Coth 和 Cot 类似，也满足勾股恒等式，即 . 双曲余切函数的定义可由等式和扩展到复数变量上. Coth 在且是整数的这些点处取得极值 ComplexInfinity. Coth[z] 在原点处的级数展开为 $sum_(k=0)^infty(2^(2 k) TemplateBox[{{2, , k}}, BernoulliB] )/((2 k)!)z^(2 k-1)$ ，可由伯努利数 BernoulliB 构成的项表示.
Coth 的反函数是 ArcCoth. 其他相关的数学函数有 Tanh、Cot 和 Cosh.

范例

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基本范例 (5)

数值运算：

在一实数子集上绘图：

在复数的子集上绘图：

在 0级数展开：

在奇点处的渐近展开式：

范围 (47)

数值计算 (6)

数值运算：

高精度求值：

输出精度与输入精度一致：

Coth 可接受复数：

在高精度条件下高效计算 Coth：

自动逐项计算数组中每个元素的值：

或用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 Coth 函数：

用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最坏情况下的区间：

或用 Around 计算一般情况下的统计区间：

特殊值 (5)

Coth 在纯虚数点上的值：

无穷处的值：

Coth 的奇点：

求满足方程的值：

替换为值：

可视化结果：

自动生成简单精确值：

更复杂的情形需要使用 FunctionExpand：

可视化 (3)

绘制 Coth 函数：

绘制的实部：

绘制的虚部：

，绘制极坐标图：

函数属性 (12)

Coth 是针对除 0 之外的所有实数定义的：

复定义域：

Coth 的值域是开区间之外的所有实数：

Coth 是一个奇函数：

Coth 具有镜像属性：

Coth 不是解析函数：

但是，它是亚纯函数：

Coth 既不是非递增，也不是非递减：

Coth 是单射函数：

Coth 不是满射函数：

Coth 既不是非负，也不是非正：

函数在零处有奇点和断点：

Coth 既不凸，也不凹：

TraditionalForm 格式：

微分 (3)

一阶导数：

高阶导数：

第阶导的公式：

积分 (3)

Coth 的不定积分：

奇函数在以原点为中心的区间上的定积分为 0：

更多积分：

级数展开式 (3)

使用 Series 求泰勒级数展开：

在周围绘制 Coth 的前三个近似值：

Coth 级数展开式的通项:

Coth 可被应用于幂级数：

积分变换 (2)

使用 LaplaceTransform 计算拉普拉斯变换：

FourierTransform:

函数恒等式和化简 (6)

倍角的 Coth：

转换多倍角表达式：

和的 Coth：

把双曲函数的和转换为积：

假定变量为实数进行展开：

转换为指数：

函数表示 (4)

用 Cot 表示：

用贝塞尔函数来表示：

用 Jacobi 函数来表示：

用 Mathieu 函数来表示：

应用 (5)

在复平面上绘制绝对值：

整数二次方根的牛顿迭代的解析解：

与显式迭代的比较：

通过对与 Coth 的乘积进行积分，求玻色子松源（Matsubara）频率的和：

磁场中与温度相关的偶极矩的布里渊 (Brillouin) 函数：

低温行为和高温行为：

用 Coth 函数作为非齐次部分，解微分方程：

属性和关系 (11)

自动应用 Coth 的基本奇偶性和周期性：

用 Simplify 和 FullSimplify 化简包含 Coth 的表达式：

用 FunctionExpand 将特殊值表示为根式：

由反函数组合：

求解双曲函数方程：

求超越方程的数值根：

约化双曲函数方程：

积分变换：

从求和和积分获得 Coth：

Coth 出现在特殊函数的特例中：

Coth 是一个数值函数：

可能存在的问题 (4)

机器精度输入不足以给出正确的结果：

使用精确输入时，得到的答案是正确的：

有时需要增大 $MaxExtraPrecision 的值：

在无穷大处不存在幂级数，此时 Coth 有一个本质奇点：

在 TraditionalForm 中，需要在自变量外加圆括号：

巧妙范例 (1)

绘制无穷大处 Coth 的图形：

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