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DedekindEta[τ]

给出 Dedekind eta 模椭圆函数 TemplateBox[{tau}, DedekindEta].

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按以下格式引用：

DedekindEta

DedekindEta[τ]

给出 Dedekind eta 模椭圆函数 TemplateBox[{tau}, DedekindEta].

更多信息

  • 数学函数，同时适合符号和数值操作.
  • DedekindEta 仅在复平面 τ 的上半平面有定义. 对实数 τ，它也没有定义.
  • 参数 τ 是 Weierstrass 半周期的比值 .
  • DedekindEta 满足 ，其中 是判别式，它根据 Weierstrass 不变量由 给出.
  • 对某些特定变量，DedekindEta 自动计算出具体值.
  • DedekindEta 可求任意数值精度的值.
  • DedekindEta 自动线性作用于列表.
  • DedekindEta 可与 CenteredInterval 对象一起使用. »

范例

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基本范例  (2)

数值运算：

Wolfram Language code: DedekindEta[1 + 2.I]

在实数的子集上绘图：

Wolfram Language code: Plot[Re[DedekindEta[x + 0.2I]], {x, -15, 15}]

范围  (14)

数值计算  (4)

数值化计算：

Wolfram Language code: DedekindEta[14.3 + I]
Wolfram Language code: DedekindEta[1.5 + I]

高精度计算：

Wolfram Language code: N[DedekindEta[12 / 5 + I], 50]

输出的精度与输入的精度一致：

Wolfram Language code: DedekindEta[2.33333333333333333 + I]

高精度的高效计算：

Wolfram Language code: DedekindEta[I + 1 / 7`100]//Timing
Wolfram Language code: DedekindEta[I + 1 / 16`10000];//Timing

DedekindEta 可与 CenteredInterval 对象一起使用：

Wolfram Language code: DedekindEta[CenteredInterval[-4 + I, .2]]

特殊值  (2)

在固定点的值：

Wolfram Language code: DedekindEta[I]

DedekindEta 按元素线性作用于列表：

Wolfram Language code: DedekindEta[{0.2 + I, 0.3 + 2I, 0.4 + 3I}]

可视化  (2)

绘制各种参数值的 DedekindEta 函数：

Wolfram Language code: Plot[Re[DedekindEta[x + I]], {x, -12, 12}]

绘制三维 DedekindEta 函数的实部:

Wolfram Language code: Plot3D[Re[DedekindEta[x + I y]], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, ColorFunction -> "BlueGreenYellow", PlotRange -> All]//Quiet

绘制三维 DedekindEta 函数的虚部：

Wolfram Language code: Plot3D[Im[DedekindEta[x + I y]], {x, -4, 4}, {y, -4, 4}, ColorFunction -> "BlueGreenYellow", PlotRange -> All]//Quiet

函数属性  (6)

DedekindEta 的复数域：

Wolfram Language code: FunctionDomain[DedekindEta[x], x, Complexes]

DedekindEta 是周期函数：

Wolfram Language code: FunctionPeriod[DedekindEta[x + I], x]

DedekindEta 在其定义域上为解析函数：

Wolfram Language code: FunctionAnalytic[{DedekindEta[x], Im[x] > 0}, x, Complexes]

但不是一个完整函数：

Wolfram Language code: FunctionAnalytic[DedekindEta[x], x, Complexes]

该函数有奇点和断点：

Wolfram Language code: FunctionSingularities[DedekindEta[x], x, Complexes]
Wolfram Language code: FunctionDiscontinuities[DedekindEta[x], x, Complexes]

DedekindEta 在复数域上不是单射：

Wolfram Language code: FunctionInjective[DedekindEta[x + 0.2I], x, Complexes]
Wolfram Language code: Plot[{Re[DedekindEta[x + 0.2I]], 1}, {x, -6, 6}]

DedekindEta 并非满射函数：

Wolfram Language code: FunctionSurjective[Re[DedekindEta[x + 0.2I]], x]
Wolfram Language code: Plot[{Re[DedekindEta[x + 0.2I]], -2}, {x, -6, 6}]

TraditionalForm 格式化：

Wolfram Language code: DedekindEta[τ]//TraditionalForm

应用  (3)

I 处的模块判别式由 DedekindEta 给出：

Wolfram Language code: (2 Pi) ^ 12 DedekindEta[I] ^ 24//N

与一般定义相比较：

Wolfram Language code: m[q_] := (2 Pi) ^ 12 NSum[ RamanujanTau[n] E ^ (2 Pi I n q), {n, 1, Infinity}] m[I]

在复平面的上半平面绘制 DedekindEta 函数：

Wolfram Language code: ContourPlot[Re[DedekindEta[x + I y]], {x, -1, 1}, {y, 0.01, 2}, AspectRatio -> Automatic]

模判别式：

Wolfram Language code: m[τ_] := (2Pi) ^ 12 NSum[RamanujanTau[n] (E^2π I τ)^n, {n, 1, Infinity}]

DedekindEta 的关联：

Wolfram Language code: DedekindEta[2I]^24 == m[2I] / (2 Pi) ^ 12

属性和关系  (2)

机器精度的输入不足以产生正确的结果：

Wolfram Language code: DedekindEta[10. ^ 22 Pi + I ]

具体输入，正确答案：

Wolfram Language code: N[DedekindEta[10 ^ 22 + I ], 20]

因为 DedekindEta 是一个数值参数的数值函数，但因为它的边界分析，它可以视为一个数值量，它不可能与数值计算：

Wolfram Language code: DedekindEta[Pi]
Wolfram Language code: NumericQ[%]
Wolfram Language code: N[%%]
Wolfram Research (1996)，DedekindEta，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/DedekindEta.html （更新于 2021 年）.

文本

Wolfram Research (1996)，DedekindEta，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/DedekindEta.html （更新于 2021 年）.

CMS

Wolfram 语言. 1996. "DedekindEta." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2021. https://reference.wolfram.com/language/ref/DedekindEta.html.

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Wolfram 语言. (1996). DedekindEta. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/DedekindEta.html 年

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