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Discriminant[poly,var]

多項式 poly の判別式を変数 var について計算する．

Discriminant[poly,var,Modulusp]

を法とした判別式を計算する．

詳細とオプション
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Discriminant

Discriminant[poly,var]

多項式 poly の判別式を変数 var について計算する．

Discriminant[poly,var,Modulusp]

を法とした判別式を計算する．

詳細とオプション

  • 主係数が1である多項式の判別式は，の , という根のペアすべての積である．
  • Discriminantは次のオプションを取る．
  • Method Automatic使用するメソッド
    Modulus 0整数に仮定する法
  • Methodのよく使われる値には，Automatic，"SylvesterMatrix"，"BezoutMatrix"，"Subresultants"，"Modular"がある．

例題

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例  (1)

ニ次方程式の判別式：

Wolfram Language code: Discriminant[a x ^ 2 + b x + c, x]

スコープ  (7)

数値係数を持つ多項式の判別式：

Wolfram Language code: Discriminant[x ^ 10 - 5x ^ 7 - 3 x + 9, x]

一般的な三次方程式の判別式：

Wolfram Language code: Discriminant[a x ^ 3 + b x ^ 2 + c x + d, x]

一般的な五次方程式の判別式：

Wolfram Language code: Discriminant[Sum[Subscript[a, i]x ^ i, {i, 0, 5}], x]

判別式は根の差分の平方である：

Wolfram Language code: Discriminant[(x - a)(x - b)(x - c)(x - d), x]

3を法とする整数上の判別式：

Wolfram Language code: Discriminant[x ^ 5 - x y + y ^ 2 - 1, x, Modulus -> 3]

有限体上の判別式：

Wolfram Language code: ℱ = FiniteField[17, 3];
Wolfram Language code: Discriminant[ℱ[1]x ^ 5 + ℱ[123]x y + ℱ[456], x]

次数の多項式の判別式を計算する：

Wolfram Language code: rpoly[n_] := RandomInteger[{-2 ^ 10, 2 ^ 10}, {n + 1}].x ^ Range[0, n] SeedRandom[1234]; p = rpoly[1000];
Wolfram Language code: Discriminant[p, x]//Short//AbsoluteTiming

オプション  (4)

Method  (1)

以下で判別式の計算で使用可能な方法の所要時間を比較する：

Wolfram Language code: Timing[Discriminant[x ^ 100 - 2x ^ 77 + 3x + 4, x, Method -> #]//Short]& /@ {Automatic, "Modular", "Subresultants", "BezoutMatrix", "SylvesterMatrix"}//Column
Wolfram Language code: Timing[Discriminant[a x ^ 10 + b x ^ 5 + (a + b)x + a b c, x, Method -> #]//Short]& /@ {Automatic, "Modular", "Subresultants", "BezoutMatrix", "SylvesterMatrix"}//Column

Modulus  (3)

デフォルトで，判別式は有理数上で計算される：

Wolfram Language code: Discriminant[a x ^ 3 + b x ^ 2 + c x + d, x]

同じ多項式の判別式を2を法とする整数上で計算する：

Wolfram Language code: Discriminant[a x ^ 3 + b x ^ 2 + c x + d, x, Modulus -> 2]

同じ多項式の判別式を3を法とする整数上で計算する：

Wolfram Language code: Discriminant[a x ^ 3 + b x ^ 2 + c x + d, x, Modulus -> 3]

アプリケーション  (2)

多項式が多重根を持つかどうか調べる：

Wolfram Language code: Discriminant[x ^ 11 - 2x ^ 10 + x ^ 9 - 2x ^ 3 + 11x ^ 2 - 16x + 7, x]
Wolfram Language code: FactorSquareFree[x ^ 11 - 2x ^ 10 + x ^ 9 - 2x ^ 3 + 11x ^ 2 - 16x + 7]
Wolfram Language code: Discriminant[x ^ 11 - 2x ^ 10 + x ^ 9 - 2x ^ 3 + 11x ^ 2 - 16x - 7, x]
Wolfram Language code: FactorSquareFree[x ^ 11 - 2x ^ 10 + x ^ 9 - 2x ^ 3 + 11x ^ 2 - 16x - 7]

三次方程式が多重根を持つ条件を求める：

Wolfram Language code: Solve[Discriminant[x ^ 3 + x + c , x] == 0, c]
Wolfram Language code: FactorSquareFree[x ^ 3 + x + c /. %, Extension -> Automatic]

特性と関係  (3)

多項式が多重根を持つ場合にのみ判別式が零になる：

Wolfram Language code: Discriminant[(x - 1)(x - 2)(x - 3), x]
Wolfram Language code: Discriminant[(x - 1)(x - 2)(x - 1), x]

判別式は根によってと表すことができる：

Wolfram Language code: x /. Solve[a x ^ 2 + b x + c == 0, x]
Wolfram Language code: Expand[a ^ (2 2 - 2)(%[[1]] - %[[2]]) ^ 2]
Wolfram Language code: Discriminant[a x ^ 2 + b x + c, x]

方程式はDiscriminantおよびResultantに関係している：

Wolfram Language code: f = 3x ^ 7 - 5x + 4;
Wolfram Language code: Resultant[f, D[f, x], x]
Wolfram Language code: (-1) ^ (7 6 / 2)Coefficient[f, x, 7]Discriminant[f, x]

考えられる問題  (1)

厳密な係数を使うと，これは共通根を意味しない：

Wolfram Language code: Discriminant[(x - 1 + 10 ^ (-17))(x - 1), x]

近似係数の場合は，共通根を意味する：

Wolfram Language code: Discriminant[(x - 1. + 10 ^ (-17))(x - 1), x]

より高い精度を使うと，この場合は問題が解ける：

Wolfram Language code: Discriminant[(x - 1`20 + 10 ^ (-17))(x - 1), x]
Wolfram Research (2007), Discriminant, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Discriminant.html （2023年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2007), Discriminant, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Discriminant.html （2023年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2007. "Discriminant." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2023. https://reference.wolfram.com/language/ref/Discriminant.html.

APA

Wolfram Language. (2007). Discriminant. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/Discriminant.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_discriminant, author="Wolfram Research", title="{Discriminant}", year="2023", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/Discriminant.html}", note=[Accessed: 07-August-2026]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2026_discriminant, organization={Wolfram Research}, title={Discriminant}, year={2023}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/Discriminant.html}, note=[Accessed: 07-August-2026]}