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EulerPhi
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EulerPhi

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オイラー関数 を与える．

詳細

  • EulerPhiはオイラーのトーシェント関数あるいはファイ関数としても知られている．
  • 記号操作・数値操作の両方に適した数学的整数関数である．
  • 暗号学や初等整数論の多くのアプリケーションでよく使われる．
  • EulerPhi[n]は n と互いに素な n までの正の整数を数える．
  • 数 （ は単数で は素数）について，EulerPhi[n]は を与える．

例題

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例  (2)基本的な使用例

10のオイラーのトーシェント関数を計算する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-kdlsey
Out[1]=1

数列をプロットする：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-3cmz48
Out[1]=1

スコープ  (9)標準的な使用例のスコープの概要

数値評価  (4)

整数を使って計算する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-v9z40i
Out[1]=1
In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-ovqjcp
Out[1]=1

大きい引数について計算する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-dy9iu
Out[1]=1

EulerPhiはリストに縫い込まれる：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-wed2gi
Out[1]=1

TraditionalFormによる表示：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-tgs6h

記号演算  (5)

EulerPhiを含む方程式を解く：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-lnxqf4
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-ux2uai
Out[2]=2

FullSimplifyをEulerPhiと一緒に使う：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-g416u9
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-k0cq08
Out[2]=2

FunctionExpandをEulerPhiと一緒に使う：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-f2eook
Out[1]=1

FindSequenceFunctionはEulerPhi数列が認識できる：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-04wogx
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-em1062
Out[2]=2

DirichletTransform：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-xqgiiw
Out[1]=1

アプリケーション  (9)この関数で解くことのできる問題の例

基本的なアプリケーション  (4)

となるような整数 n を求める：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-eth0p8
Out[1]=1

n 次のFareySequenceの長さはEulerPhiで表すことができる：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-wzv6rl
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-9scm7h
Out[2]=2

GCDについての母関数のベキ級数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-oqi6tx
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-vrvg6b
Out[2]=2

EulerPhiを使って素数の数を数える：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-lwc005
Out[1]=1

整数論  (5)

Fleckのトーシェント関数をモデル化する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-dg23lv
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-b54k98
Out[2]=2

はオイラーのトーシェント関数を再現する：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-c0v9ep
Out[3]=3

一般化と閉じた形：

In[4]:=4
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-kma9m
Out[4]=4
In[5]:=5
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-fr8h2w
Out[5]=5

EulerPhiの累積和をプロットする：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-njmx7q
Out[1]=1

漸近近似と比較する：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-b2a14y
Out[2]=2

差 sum_(n=1)^kTemplateBox[{n}, EulerPhi]-3 k^2/pi^2が負である最初のいくつかの ：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-inb8x
Out[3]=3
In[4]:=4
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-b1yv8c
Out[4]=4

ランダムに選択した x 未満の2つの正の整数が互いに素である確率：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-qxh4df
Out[1]=1

漸近極限と比較する：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-ftb8ft
Out[2]=2

RSAのような暗号化スキームを構築する．モジュラスから始める：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-b23pum
Out[1]=1

n を法とする乗法群の普遍指数を求める：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-ndudo
Out[2]=2

秘密鍵：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-dqq7e
Out[3]=3

公開鍵：

In[4]:=4
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-dphnlq
Out[4]=4

メッセージを暗号化する：

In[5]:=5
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-esagl5
Out[5]=5

それを解読する：

In[6]:=6
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-dgtw2
Out[6]=6

b 種類のビーズで作ることができる長さ n の環状ネックレスの数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-05brr9
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-bs6ikb
Out[2]=2

特性と関係  (11)この関数の特性および他の関数との関係

EulerPhiは非負である：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-o5o8w3
Out[1]=1

EulerPhiは乗法的関数である：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-pajhh7
Out[1]=1

任意の素数 p と自然数 r について ϕ(pr)=pr-pr-1である：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-d6i5er
Out[1]=1

同様に，p が素数のときEulerPhi[n]==n∏p|n(1-1/p)：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-9nj6
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-cvqiq0
Out[2]=2

あるいはEulerPhi[n]==n∑k|nMoebiusMu[k]/k：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-blx2dc
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-jcrs44
Out[2]=2

CarmichaelLambdaはEulerPhiを割る：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-pj9axl
Out[1]=1

n が素数ベキのとき，両者は等しい：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-3o6laa
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-r8ptp5
Out[3]=3

ϕ(d)=n であることを示す：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-05zx4w
Out[1]=1

Cyclotomic体について，NumberFieldDiscriminantはEulerPhiを使って求めることができる：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-g7c26g
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-lh3rvu
Out[2]=2
Out[2]=2

が原始根を持つなら，CarmichaelLambdaとEulerPhiは等しい：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-enflyg
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-zl7px4
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-lsybym
Out[3]=3

素因数分解を通してEulerPhiを決定する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-zdwi06
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-lrp9gw
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-35f61a
Out[3]=3

任意の無平方数 n について，n のトーシェントは n の各因数のトーシェントの積に等しい：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-rjzsiv
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-ftc1w8
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-dxkxxl
Out[3]=3

考えられる問題  (1)よく起る問題と予期しない動作

0における値：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-fh9uyb
Out[1]=1

おもしろい例題  (4)驚くような使用例や興味深い使用例

次の数列の極限としての絶対的に不自然な数を作る：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-fysdb0
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-ixxik0
Out[2]=2

いろいろな底における6番目の近似の桁：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-x10xsw

写像 を反復させ，その結果を を法として表示する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-eb48ls
Out[1]=1

TemplateBox[{x}, PrimePi]=TemplateBox[{x}, EulerPhi]のたった8つの解：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-b10bed
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-k62uog
Out[2]=2

EulerPhiの値に基づいて数が彩色されたウラム(Ulam)螺線をプロットする：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0eny5hs8z-8ppwpc
Out[1]=1
Wolfram Research (1988), EulerPhi, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerPhi.html （2007年に更新）.
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Wolfram Research (1988), EulerPhi, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerPhi.html （2007年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (1988), EulerPhi, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerPhi.html （2007年に更新）.

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Wolfram Research (1988), EulerPhi, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerPhi.html （2007年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 1988. "EulerPhi." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2007. https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerPhi.html.

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Wolfram Language. 1988. "EulerPhi." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2007. https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerPhi.html.

APA

Wolfram Language. (1988). EulerPhi. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerPhi.html

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Wolfram Language. (1988). EulerPhi. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerPhi.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2025_eulerphi, author="Wolfram Research", title="{EulerPhi}", year="2007", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerPhi.html}", note=[Accessed: 02-April-2025 ]}

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@misc{reference.wolfram_2025_eulerphi, author="Wolfram Research", title="{EulerPhi}", year="2007", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerPhi.html}", note=[Accessed: 02-April-2025 ]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2025_eulerphi, organization={Wolfram Research}, title={EulerPhi}, year={2007}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerPhi.html}, note=[Accessed: 02-April-2025 ]}

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@online{reference.wolfram_2025_eulerphi, organization={Wolfram Research}, title={EulerPhi}, year={2007}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerPhi.html}, note=[Accessed: 02-April-2025 ]}