WOLFRAM

オイラー関数 を与える.

詳細

  • EulerPhiはオイラーのトーシェント関数あるいはファイ関数としても知られている.
  • 記号操作・数値操作の両方に適した数学的整数関数である.
  • 暗号学や初等整数論の多くのアプリケーションでよく使われる.
  • EulerPhi[n]n と互いに素な n までの正の整数を数える.
  • は単数で は素数)について,EulerPhi[n]を与える.

例題

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  (2)基本的な使用例

10のオイラーのトーシェント関数を計算する:

Out[1]=1

数列をプロットする:

Out[1]=1

スコープ  (9)標準的な使用例のスコープの概要

数値評価  (4)

整数を使って計算する:

Out[1]=1
Out[1]=1

大きい引数について計算する:

Out[1]=1

EulerPhiはリストに縫い込まれる:

Out[1]=1

TraditionalFormによる表示:

記号演算  (5)

EulerPhiを含む方程式を解く:

Out[1]=1
Out[2]=2

FullSimplifyEulerPhiと一緒に使う:

Out[1]=1
Out[2]=2

FunctionExpandEulerPhiと一緒に使う:

Out[1]=1

FindSequenceFunctionEulerPhi数列が認識できる:

Out[1]=1
Out[2]=2

DirichletTransform

Out[1]=1

アプリケーション  (9)この関数で解くことのできる問題の例

基本的なアプリケーション  (4)

となるような整数 n を求める:

Out[1]=1

n 次のFareySequenceの長さはEulerPhiで表すことができる:

Out[1]=1
Out[2]=2

GCDについての母関数のベキ級数:

Out[1]=1
Out[2]=2

EulerPhiを使って素数の数を数える:

Out[1]=1

整数論  (5)

Fleckのトーシェント関数をモデル化する:

Out[2]=2

はオイラーのトーシェント関数を再現する:

Out[3]=3

一般化と閉じた形:

Out[4]=4
Out[5]=5

EulerPhiの累積和をプロットする:

Out[1]=1

漸近近似と比較する:

Out[2]=2

sum_(n=1)^kTemplateBox[{n}, EulerPhi]-3 k^2/pi^2が負である最初のいくつかの

Out[3]=3
Out[4]=4

ランダムに選択した x 未満の2つの正の整数が互いに素である確率:

Out[1]=1

漸近極限と比較する:

Out[2]=2

RSAのような暗号化スキームを構築する.モジュラスから始める:

Out[1]=1

n を法とする乗法群の普遍指数を求める:

Out[2]=2

秘密鍵:

Out[3]=3

公開鍵:

Out[4]=4

メッセージを暗号化する:

Out[5]=5

それを解読する:

Out[6]=6

b 種類のビーズで作ることができる長さ n の環状ネックレスの数:

Out[2]=2

特性と関係  (11)この関数の特性および他の関数との関係

EulerPhiは非負である:

Out[1]=1

EulerPhiは乗法的関数である:

Out[1]=1

任意の素数 p と自然数 r について ϕ(pr)=pr-pr-1である:

Out[1]=1

同様に,p が素数のときEulerPhi[n]==np|n(1-1/p)

Out[1]=1
Out[2]=2

あるいはEulerPhi[n]==nk|nMoebiusMu[k]/k

Out[1]=1
Out[2]=2

CarmichaelLambdaEulerPhiを割る:

Out[1]=1

n が素数ベキのとき,両者は等しい:

Out[2]=2
Out[3]=3

ϕ(d)=n であることを示す:

Out[1]=1

Cyclotomic体について,NumberFieldDiscriminantEulerPhiを使って求めることができる:

Out[2]=2
Out[2]=2

が原始根を持つなら,CarmichaelLambdaEulerPhiは等しい:

Out[1]=1
Out[2]=2
Out[3]=3

素因数分解を通してEulerPhiを決定する:

Out[2]=2
Out[3]=3

任意の無平方数 n について,n のトーシェントは n の各因数のトーシェントの積に等しい:

Out[1]=1
Out[2]=2
Out[3]=3

考えられる問題  (1)よく起る問題と予期しない動作

0における値:

Out[1]=1

おもしろい例題  (4)驚くような使用例や興味深い使用例

次の数列の極限としての絶対的に不自然な数を作る:

Out[2]=2

いろいろな底における6番目の近似の桁:

写像 を反復させ,その結果を を法として表示する:

Out[1]=1

TemplateBox[{x}, PrimePi]=TemplateBox[{x}, EulerPhi]のたった8つの解:

Out[1]=1
Out[2]=2

EulerPhiの値に基づいて数が彩色されたウラム(Ulam)螺線をプロットする:

Out[1]=1
Wolfram Research (1988), EulerPhi, Wolfram言語関数, https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerPhi.html (2007年に更新).
Wolfram Research (1988), EulerPhi, Wolfram言語関数, https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerPhi.html (2007年に更新).

テキスト

Wolfram Research (1988), EulerPhi, Wolfram言語関数, https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerPhi.html (2007年に更新).

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CMS

Wolfram Language. 1988. "EulerPhi." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2007. https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerPhi.html.

Wolfram Language. 1988. "EulerPhi." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2007. https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerPhi.html.

APA

Wolfram Language. (1988). EulerPhi. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerPhi.html

Wolfram Language. (1988). EulerPhi. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerPhi.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2025_eulerphi, author="Wolfram Research", title="{EulerPhi}", year="2007", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerPhi.html}", note=[Accessed: 02-April-2025 ]}

@misc{reference.wolfram_2025_eulerphi, author="Wolfram Research", title="{EulerPhi}", year="2007", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerPhi.html}", note=[Accessed: 02-April-2025 ]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2025_eulerphi, organization={Wolfram Research}, title={EulerPhi}, year={2007}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerPhi.html}, note=[Accessed: 02-April-2025 ]}

@online{reference.wolfram_2025_eulerphi, organization={Wolfram Research}, title={EulerPhi}, year={2007}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/EulerPhi.html}, note=[Accessed: 02-April-2025 ]}