GroebnerBasis

GroebnerBasis[{poly1,poly2,},{x1,x2,}]

给出一列多项式,这些多项式构成多项式 polyi 的 Gröbner 基.

GroebnerBasis[{poly1,poly2,},{x1,x2,},{y1,y2,}]

找到一个 Gröbner 基,且这个基中不包含 yi.

更多信息和选项

  • Gröbner 基中的多项式与原来的多项式具有相同的解集.
  • 在一元多项式中,GroebnerBasis 化简为 PolynomialGCD.
  • 对多元的线性函数,GroebnerBasis 等价于高斯消去法.
  • 一般说来,Gröbner 基依赖于分配给单项的顺序. 这个顺序受到 xi 的顺序的影响.
  • 可以使用下列选项:
  • MonomialOrder Lexicographic对单项排序所使用的准则
    CoefficientDomain Automatic被假定为系数的对象的类型
    Method Automatic使用的方式
    Modulus 0数值系数的模数
  • 可能的 MonomialOrder 设置是 LexicographicDegreeLexicographicDegreeReverseLexicographicEliminationOrder 或一个显式的加权矩阵. MonomialOrder 所使用的单项式通过 xi 所在的指数构成的列表来指定.
  • xi 的顺序和 MonomialOrder 设置能对 GroebnerBasis 的效率产生实质性影响.
  • CoefficientDomain 的可能设置是 InexactNumbersRationalsRationalFunctions 以及 Polynomials[x].
  • Method 选项的可能设置包括 "Buchberger""GroebnerWalk".

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (1)

计算一个 Gröbner 基:

证明多项式没有共同根:

范围  (5)

具有有限共同根的多项式:

具有无限共同根的多项式:

无共同根的多项式:

消除变量:

字典序 Gröbner 基:

分次反向字典序 Gröbner 基:

推广和延伸  (1)

可以给出多项式方程替代多项式:

选项  (8)

CoefficientDomain  (1)

在默认情况下,Gröbner 基在有理数域上计算:

这里在整数环上计算 Gröbner 基:

这里在有理数域 (a) 上计算 Gröbner 基:

这里使用近似算法:

Method  (2)

Automatic 方法设置对于有理数域上的一个字典序使用 "GroebnerWalk"

在这个例子中,"Buchberger" 方法的速度较 "GroebnerWalk" 低:

对字典序 Gröbner 基,这些多项式是关闭的:

这个 "GroebnerWalk" 方法首先颠倒字典序再计算:

这里用 "Buchberger" 方法直接计算字典序基更快:

Modulus  (1)

计算在整数模7域内的 Gröbner 基 :

MonomialOrder  (1)

在缺省情况下,GroebnerBasisLexicographic 单项序:

这里以 DegreeReverseLexicographic 单项序给出 Gröbner 基:

通过一个满秩平方有理数的权重矩阵来指定单项序:

为了次序方便查找,每列的第一个非零项必须是正数:

消去 z 并返回对应 {x,y} 的分次字典序集:

ParameterVariables  (1)

在所有其它变量后,参数按字典排序:

这是一个等价输入:

Sort  (1)

在缺省情况下,GroebnerBasis 不允许重排序变量:

重新排序变量计算可能会更快;Gröbner 基可能不同:

Tolerance  (1)

求成对的单变量多项式的一个近似最大公约数:

对整数系数的多项式是关闭的:

缺省设置 Tolerance->0,近似的最大公约数有太低的次:

提高 Tolerance 的设置,GroebnerBasis 给出一个更好的近似最大公约数:

应用  (2)

求解一个多项式方程组:

一个 Gröbner 基具有相同的根集,作为输入多项式:

求 Gröbner 基仅对于变量 x 的第一个多项式:

求 Gröbner 基对另一个变量 y 的第二个多项式:

这个方法求 polys 所有共同根:

ReduceSolve 用 Gröbner 基求解方程:

获得一个超定方程组的模糊解:

这里给出多项式超定集合的低精度近似值:

属性和关系  (6)

一个 Gröbner 基产生和输入多项式相同的理想数:

PolynomialReduce 显示 p1 是由 g1g2 产生的理想数:

通过 Hilbert 的 Nullstellensatz,如果理想是 则多项式没有共同零:

ReduceSolve 证明这里没有共同解:

相反的如果理想非 ,则这里至少有 1 个共同零:

FindInstance 求一个实解:

单变量多项式的 GroebnerBasis 等价于计算 PolynomialGCD

线性多项式的 GroebnerBasis 等价于一个高斯消除过程:

GroebnerBasis 用于求解多项式方程组:

Reduce 直接求解方程组:

Solve 按替代规则给出解:

从多项式方程组中消除一个变量:

Resolve 消除一个变量:

Eliminate 消除一个变量:

Resultant 消除变量:

Wolfram Research (1991),GroebnerBasis,Wolfram 语言函数,https://reference.wolfram.com/language/ref/GroebnerBasis.html (更新于 2007 年).

文本

Wolfram Research (1991),GroebnerBasis,Wolfram 语言函数,https://reference.wolfram.com/language/ref/GroebnerBasis.html (更新于 2007 年).

CMS

Wolfram 语言. 1991. "GroebnerBasis." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2007. https://reference.wolfram.com/language/ref/GroebnerBasis.html.

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Wolfram 语言. (1991). GroebnerBasis. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/GroebnerBasis.html 年

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