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JordanModelDecomposition[ssm]

状態空間モデル ssm のジョルダン(Jordan)分解を与える．

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JordanModelDecomposition

JordanModelDecomposition[ssm]

状態空間モデル ssm のジョルダン(Jordan)分解を与える．

詳細

  • 結果はリスト{p,jc}である．ただし，p は相似行列，jc は ssm のジョルダン正準形である．
  • 状態空間モデル ssm はStateSpaceModel[{a,b,c,d}]として与えられる．ただし，a，b，c，d は連続時間系あるいは離散時間系の状態，入力，出力，伝送行列を表す．
  • 連続時間系
    離散時間系
  • 変換 ( は新たな状態ベクトル， は の線形独立の固有ベクトルをスパンする相似行列）は，系をジョルダン正準形に変換する．
  • w'(t)=TemplateBox[{p}, Inverse].a.p.w(t)+TemplateBox[{p}, Inverse].b.u(t), 連続時間系
    w(k+1)=TemplateBox[{p}, Inverse].a.p.w(k)+TemplateBox[{p}, Inverse].b.u(k),離散時間系
  • 新たな状態行列 TemplateBox[{p}, Inverse].a.p はもとの状態行列 のジョルダン正凖形である．

例題

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例  (1)

状態空間モデルのジョルダン分解を計算する：

Wolfram Language code: JordanModelDecomposition[StateSpaceModel[{{{0, 0, -4}, {1, -2, -2}, {-1, 0, 4}}, {{-1}, {0}, {0}}, {{0, 0, 1}}, {{0}}}, SamplingPeriod -> None, SystemsModelLabels -> None]]

スコープ  (4)

二次系のジョルダン分解：

Wolfram Language code: JordanModelDecomposition[StateSpaceModel[{{{-1, 0}, {3, 2}}, {{1}, {-1}}, {{1, 0}}, {{0}}}, SamplingPeriod -> None, SystemsModelLabels -> None]]

離散時間系のジョルダン分解：

Wolfram Language code: JordanModelDecomposition[StateSpaceModel[{{{0.1625, -0.1125}, {0.1125, 0.5375}}, {{0.5}, {-0.5}}, {{2, -2}}, {{0}}}, SamplingPeriod -> 0.5, SystemsModelLabels -> None]]

二次ブロックで複素数極を与える変換：

Wolfram Language code: Chop[JordanModelDecomposition[StateSpaceModel[TransferFunctionModel[{{{3}}, (-0.2 + z)*(1 + z + z^2)}, z, SamplingPeriod -> 0.1]]]]

ジョルダンブロックには繰り返し極が現れる：

Wolfram Language code: JordanModelDecomposition[StateSpaceModel[TransferFunctionModel[{{{10}}, (1 + s)^3*(5 + s)}, s]]]

アプリケーション  (2)

のジョルダンブロックが明らかな固有値を持ち，各ジョルダンブロックの最終行に対応する の行が零ではないとき，かつそのときに限り，その系は可制御である：

Wolfram Language code: lssm = {StateSpaceModel[{{{-1, 0}, {0, -2}}, {{1}, {-1}}}, SamplingPeriod -> None, SystemsModelLabels -> None], StateSpaceModel[{{{-1, 1, 0, 0}, {0, -1, 1, 0}, {0, 0, -1, 0}, {0, 0, 0, -2}}, {{1, 0, 0}, {0, 0, 1}, {0, 0, 0}, {0, -1, 0}}}, SamplingPeriod -> None, SystemsModelLabels -> None], StateSpaceModel[{{{-1, 1, 0, 0}, {0, -1, 1, 0}, {0, 0, -1, 0}, {0, 0, 0, -2}}, {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {1, 0, 0}, {0, -1, 0}}}, SamplingPeriod -> None, SystemsModelLabels -> None]};
Wolfram Language code: Table[ControllableModelQ[ssm], {ssm, lssm}]

のジョルダンブロックが明らかな固有値を持ち，各ジョルダンブロックの第1行に対応する の列が零ではないとき，かつそのときに限り，その系は可観測である：

Wolfram Language code: lssm = {StateSpaceModel[{{{-1, 0}, {0, -2}}, {{1}, {-1}}, {{2, -2}}, {{0}}}, SamplingPeriod -> None, SystemsModelLabels -> None], StateSpaceModel[{{{-1, 1, 0, 0}, {0, -1, 1, 0}, {0, 0, -1, 0}, {0, 0, 0, -2}}, {{1}, {1}, {0}, {-1}}, {{0, 1, 1, 1}}, {{0}}}, SamplingPeriod -> None, SystemsModelLabels -> None], StateSpaceModel[{{{-1, 1, 0, 0}, {0, -1, 1, 0}, {0, 0, -1, 0}, {0, 0, 0, -2}}, {{0}, {0}, {1}, {0}}, {{1, 0, 0, 1}}, {{0}}}, SamplingPeriod -> None, SystemsModelLabels -> None]};
Wolfram Language code: Table[ObservableModelQ[ssm], {ssm, lssm}]

特性と関係  (3)

ジョルダン正凖形では，固有値は状態行列の対角に沿っている：

Wolfram Language code: m = (⁠| | | | | -- | -- | -- | | -1 | 0 | 0 | | 0 | -2 | 0 | | 0 | 0 | -3 |⁠);
Wolfram Language code: p = (⁠| | | | | -- | -- | -- | | 0 | 1 | 0 | | -1 | 0 | -1 | | 1 | -1 | 0 |⁠);
Wolfram Language code: JordanModelDecomposition[StateSpaceModel[{Inverse[p].m.p, (⁠| | | | -- | -- | | 0 | 0 | | b1 | 0 | | 0 | b2 |⁠), (⁠| | | | | -- | - | -- | | c1 | 0 | 0 | | 0 | 0 | c3 |⁠), (⁠| | | | --- | --- | | d11 | d12 | | d21 | d22 |⁠)}]]//Last

ジョルダン正凖形は相似変換を介してもとの系に関連している：

Wolfram Language code: ssm = StateSpaceModel[{{{-2, 1, 3}, {1, 0, -1}, {2, 0, 1}}, {{1}, {-1}, {0}}, {{1, 0, 0}}, {{0}}}, SamplingPeriod -> None, SystemsModelLabels -> None];
Wolfram Language code: {p, jc} = N[JordanModelDecomposition[ssm]];
Wolfram Language code: {jc, StateSpaceTransform[ssm, p]//Chop}
Wolfram Language code: {ssm, StateSpaceTransform[jc, Inverse@p]//Chop}

状態空間モデルのジョルダン正凖形はその状態行列のジョルダン分解に関連した相似変換である：

Wolfram Language code: ssm = StateSpaceModel[{{{-7, 0.5, 5}, {-4, -1, 4}, {-2, 0.5, 0}}, {{1}, {-1}, {1}}, {{1, -1, -1}}, {{0}}}, SamplingPeriod -> None, SystemsModelLabels -> None];
Wolfram Language code: {p, jc} = JordanDecomposition@First@Normal@ssm
Wolfram Language code: {Last@JordanModelDecomposition[ssm], StateSpaceTransform[ssm, p]}//Chop

考えられる問題  (1)

JordanModelDecompositionはディスクリプタ系をサポートしない：

Wolfram Language code: JordanModelDecomposition[StateSpaceModel[{{{1, 0, 2, -2}, {3, -3, -1, -1}, {2, -1, 0, 1}, {15, -15, 0, 5}}, {{0}, {1}, {0}, {1}}, {{1383, -1481, -16, 403}}, {{0}}, {{3, -3, -1, -1}, {0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}, {-3, 3, 0, -1}}}, SamplingPeriod -> None, SystemsModelLabels -> None]]

KroneckerModelDecompositionを使って系のモードを分離する：

Wolfram Language code: KroneckerModelDecomposition[StateSpaceModel[{{{1, 0, 2, -2}, {3, -3, -1, -1}, {2, -1, 0, 1}, {15, -15, 0, 5}}, {{0}, {1}, {0}, {1}}, {{1383, -1481, -16, 403}}, {{0}}, {{3, -3, -1, -1}, {0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}, {-3, 3, 0, -1}}}, SamplingPeriod -> None, SystemsModelLabels -> None]]
Wolfram Research (2010), JordanModelDecomposition, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/JordanModelDecomposition.html.

テキスト

Wolfram Research (2010), JordanModelDecomposition, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/JordanModelDecomposition.html.

CMS

Wolfram Language. 2010. "JordanModelDecomposition." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/JordanModelDecomposition.html.

APA

Wolfram Language. (2010). JordanModelDecomposition. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/JordanModelDecomposition.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_jordanmodeldecomposition, author="Wolfram Research", title="{JordanModelDecomposition}", year="2010", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/JordanModelDecomposition.html}", note=[Accessed: 09-November-2026]}

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