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Residue[expr,{z,z0}]

点 z=z0における expr の留数を求める．

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Residue

Residue[expr,{z,z0}]

点 z=z0における expr の留数を求める．

詳細とオプション

  • 留数は expr のローラン展開での(z-z0)^-1の係数として定義される．
  • Wolfram言語では，ある点での級数が評価できるときのみその点での留数が求まる．

例題

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例  (2)

原点におけるの留数：

Wolfram Language code: Residue[1 / z, {z, 0}]

Gamma関数の積の留数：

Wolfram Language code: Residue[Gamma[z]Gamma[z - 1]Gamma[z - 2], {z, 0}]

未知の関数は，すべての点において解析的であると仮定される：

Wolfram Language code: Residue[f[z] / z ^ 5, {z, 0}]

スコープ  (3)

関数 は原点に一次の極を持たないため，留数は0である：

Wolfram Language code: Residue[1 / z ^ 2, {z, 0}]

原点に極を持つ有理型関数の留数：

Wolfram Language code: Residue[1 / Sin[z] ^ 5, {z, 0}]

これは，ローラン級数展開における の係数と一致する：

Wolfram Language code: Series[1 / Sin[z] ^ 5, {z, 0, 0}]

超越関数の点 における留数を求める：

Wolfram Language code: Residue[Zeta[z] / (z - 1) ^ 10, {z, 1}]

アプリケーション  (1)

複素関数の積分に関するコーシーの定理を示す：

Wolfram Language code: NIntegrate[1 / Sin[z] ^ 7, {z, 1, I, -1, -I, 1}] / (2Pi I)

次に，留数として計算する：

Wolfram Language code: Residue[1 / Sin[z] ^ 7, {z, 0}]

結果が一致することを確認する：

Wolfram Language code: N[%]

特性と関係  (1)

FunctionPolesを使って関数の極を求める：

Wolfram Language code: FunctionPoles[x ^ 3 / (x ^ 4 - 2), x]

Residueを使って極における留数を求める：

Wolfram Language code: Residue[x ^ 3 / (x ^ 4 - 2), {x, #[[1]]}]& /@ %

ResidueSumはすべての極における留数の和を与える：

Wolfram Language code: ResidueSum[x ^ 3 / (x ^ 4 - 2), x]

考えられる問題  (1)

剰余は分岐点では定義されない：

Wolfram Language code: Residue[1 / Sqrt[z], {z, 0}]
Wolfram Research (1991), Residue, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Residue.html.

テキスト

Wolfram Research (1991), Residue, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Residue.html.

CMS

Wolfram Language. 1991. "Residue." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/Residue.html.

APA

Wolfram Language. (1991). Residue. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/Residue.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_residue, author="Wolfram Research", title="{Residue}", year="1991", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/Residue.html}", note=[Accessed: 04-November-2026]}

BibLaTeX

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