SymmetricPolynomial

SymmetricPolynomial[k,{x1,…,xn}]

変数 x1,…,xnにおける k 次初等対称多項式を与える．

詳細

  • n 個の変数{x1,…,xn}の対称多項式は，その変数のどのように入れ換えても不変である．k 次初等対称多項式は次数 k のすべての無平方単項式の和である．
  • 次数 k は0≤k≤n を満たさなければならない．
  • 初等対称多項式は対称多項式の基礎を形成する．
  • SymmetricReductionを使うと，初等対称多項式を使って一般的な対称多項式を表すことができる．

例題

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例  (1)

変数x1,x2,x3,x4における次数3の初等対称多項式：

スコープ  (1)

零次初等対称多項式は1であると定義できる：

アプリケーション  (1)

項目が0または1の2×3行列：

列の和が1,1,1で行の和が2,1である行列を選ぶ：

このような行列がいくつあるかをSymmetricPolynomialを使って数えることもできる．行の和が2,1である2×3行列の母関数は以下で与えられる：

x11x21x31の係数は，このような行列のいくつで列の和が1,1,1であるかを数える：

特性と関係  (5)

k 番目の初等対称多項式は，変数の k 部分集合から構築された全単項式の和である：

個の変数を持つ対称多項式の母関数はで与えられる：

チェックする：

根が である単多項式は， の初等対称多項式である係数を持つ：

初等対称多項式 ek=SymmetricPolynomial[k,{x1,…,xn}]は，Newton–Girardの式[MathWorld]を通してベキ和多項式に関係している．についてのNewton–Girardの式をすべて生成する：

これらを検証する：

初等対称多項式は一般化されたベル多項式BellYによって定義できる：

5変数のケースについて検証する：

おもしろい例題  (1)

の根が になるような整数 を求める：

チェックする：

Wolfram Research (2007), SymmetricPolynomial, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/SymmetricPolynomial.html.

テキスト

Wolfram Research (2007), SymmetricPolynomial, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/SymmetricPolynomial.html.

CMS

Wolfram Language. 2007. "SymmetricPolynomial." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/SymmetricPolynomial.html.

APA

Wolfram Language. (2007). SymmetricPolynomial. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/SymmetricPolynomial.html

BibTeX

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BibLaTeX

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