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MultivariateTDistribution

MultivariateStatistics`

MultivariateStatistics`

MultivariateTDistribution

バージョン8から，MultivariateTDistributionは組込みのWolfram言語カーネルの一部になった．

MultivariateTDistribution[Σ,m]

スケール行列Σ，自由度パラメータ m の多変量スチューデントの分布を表す．

MultivariateTDistribution[μ,Σ,m]

位置 μ，スケール行列Σ，自由度 m の多変量スチューデントの分布を表す．

詳細とオプション

MultivariateTDistributionを使うためには，まず多変量統計パッケージをロードしなくてはならない．それにはNeeds["MultivariateStatistics`"]を実行する必要がある．
多変量 t 分布のベクトル x の確率密度は(1+(x-μ).Σ^-1.(x-μ)/m)^{-(m+Length[Σ])/2} に比例する．
スケール行列Σは実数値の任意の対称正定行列である．
指定された位置 μ では，μ は任意の実数ベクトル，Σ はp=Length[μ]である任意の対称正定値p×p 行列を取ることができる．
多変量のスチューデントの t 分布は，各変量間の共分散に対する，多変量正規分布の比を明確にする．
MultivariateTDistributionはMean，CDF，RandomReal等の関数で使うことができる．

例題

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例 (3)

Wolfram Language code: Needs["MultivariateStatistics`"]

自由度10の二変量 t 分布の平均：

Wolfram Language code: Mean[MultivariateTDistribution[{{1, ρ}, {ρ, 1}}, 10]]

Wolfram Language code: Needs["MultivariateStatistics`"]

各次元の分散：

Wolfram Language code: Variance[MultivariateTDistribution[{{1, ρ}, {ρ, 1}}, 10]]

Wolfram Language code: Needs["MultivariateStatistics`"]

確率密度関数：

Wolfram Language code: PDF[MultivariateTDistribution[{{1, ρ}, {ρ, 1}}, m], {x, y}]

Wolfram Language code: Plot3D[PDF[MultivariateTDistribution[{{1, 1 / 2}, {1 / 2, 1}}, 10], {x, y}], {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

スコープ (3)

Wolfram Language code: Needs["MultivariateStatistics`"]

三変量 t 分布に従う擬似乱数ベクトル集合を発生させる：

Wolfram Language code: RandomReal[MultivariateTDistribution[{{1, 1 / 2, -1 / 3}, {1 / 2, 1, 0}, {-1 / 3, 0, 1}}, 5], 10]

Wolfram Language code: Needs["MultivariateStatistics`"]

Wolfram Language code: Skewness[MultivariateTDistribution[{{1, 1 / 2, -1 / 3}, {1 / 2, 1, 0}, {-1 / 3, 0, 1}}, 5]]

Wolfram Language code: Needs["MultivariateStatistics`"]

Wolfram Language code: Kurtosis[MultivariateTDistribution[{{1, 1 / 2, -1 / 3}, {1 / 2, 1, 0}, {-1 / 3, 0, 1}}, 5]]

アプリケーション (1)

Wolfram Language code: Needs["MultivariateStatistics`"]

二変量 t 分布の等確率の等高線：

Wolfram Language code: ContourPlot[PDF[MultivariateTDistribution[{{1, 1 / 2}, {1 / 2, 1}}, 10], {x, y}], {x, -2.5, 2.5}, {y, -2.5, 2.5}]

特性と関係 (1)

Wolfram Language code: Needs["MultivariateStatistics`"]

確率密度関数は積分すると単位数になる：

Wolfram Language code: NIntegrate[PDF[MultivariateTDistribution[{{1, 1 / 2}, {1 / 2, 1}}, 10], {x, y}], {x, -∞, ∞}, {y, -∞, ∞}]

考えられる問題 (2)

Wolfram Language code: Needs["MultivariateStatistics`"]

MultivariateTDistributionは，Σが対称正定行列でないときは定義されない：

Wolfram Language code: PDF[MultivariateTDistribution[{{1, I / 2}, {1 / 2, 1}}, 10], {x, y}]

MultivariateTDistributionは m が正でない場合は定義されない：

Wolfram Language code: PDF[MultivariateTDistribution[{{1, 1 / 2}, {1 / 2, 1}}, -3], {x, y}]

Wolfram Language code: Needs["MultivariateStatistics`"]

無効なパラメータを記号的出力に代入すると，意味をなさない結果となる：

Wolfram Language code: Variance[MultivariateTDistribution[{{1, ρ}, {ρ, 1}}, m]] /. {ρ -> 1, m -> I}

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