ArcCurvature
ArcCurvature
ArcCurvature[{x1,…,xn},t]
给出参数化曲线的曲率，其中该参数化曲线的笛卡儿坐标 xi 为 t 的函数.
ArcCurvature[{x1,…,xn},t,chart]
将 xi 解释为指定坐标图中的坐标.
更多信息
- 圆弧的曲率有时也被称为无符号曲率或弗莱纳 (Frenet) 曲率.
- 在三维欧几里德空间中的曲线
的圆弧曲率由 ![(TemplateBox[{{{{x, ^, {(, ', )}}, (, t, )}, x, {{x, ^, {(, {', '}, )}}, , {(, t, )}}}}, Norm])/(TemplateBox[{{{x, ^, {(, ', )}}, (, t, )}}, Norm]^3)](Files/ArcCurvature.zh/1.png "(TemplateBox[{{{{x, ^, {(, ', )}}, (, t, )}, x, {{x, ^, {(, {', '}, )}}, , {(, t, )}}}}, Norm])/(TemplateBox[{{{x, ^, {(, ', )}}, (, t, )}}, Norm]^3)")
给出. - 在一般的空间中，曲线
的圆弧曲率由 ![TemplateBox[{{{D, /, {(, {D, , t}, )}}, {{(, { , {{x, ^, {(, ', )}}, (, t, )}}, )}, /, {(, TemplateBox[{{{x, ^, {(, ', )}}, (, t, )}}, Norm], )}}}}, Norm]](Files/ArcCurvature.zh/2.png "TemplateBox[{{{D, /, {(, {D, , t}, )}}, {{(, { , {{x, ^, {(, ', )}}, (, t, )}}, )}, /, {(, TemplateBox[{{{x, ^, {(, ', )}}, (, t, )}}, Norm], )}}}}, Norm]")
给出. - 在 ArcCurvature[x,t] 中，如果 x 是标量，ArcCurvature 则返回参数化曲线 {t,x} 的曲率.
- 在 ArcCurvature 的第三个参数中的坐标图可以用三元组 {coordsys,metric,dim} 的形式指定，就像指定CoordinateChartData 的第一个参数一样. 可以使用省略 dim 的短形式.
范例
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ArcCurvature[{Sin[θ], Cos[θ]}, θ]Simplify[ArcCurvature[{t, t^2}, t, "Polar"], t > 0]Simplify[ArcCurvature[{-t, t^2}, t, "Polar"], t > 0]PolarPlot[{Sqrt[t], -Sqrt[t]}, {t, 0, 4Pi}]范围 (5)
ArcCurvature[{r Cos[t] / Cosh[Cot[b]t], r Sin[t] / Cosh[Cot[b]t], r Tanh[Cot[b]t]}, t]//SimplifyShow[ParametricPlot3D[Table[{Cos[t] / Cosh[Cot[b]t], Sin[t] / Cosh[Cot[b]t], Tanh[Cot[b]t]}, {b, {Pi / 2 - .1, Pi / 2, Pi / 2 + .1}}]//Evaluate, {t, 0, 30}, PlotStyle -> Thick, PlotRange -> All], Graphics3D[{Opacity[.5], Sphere[]}]]![2 TemplateBox[{a}, Abs]](Files/ArcCurvature.zh/3.png "2 TemplateBox[{a}, Abs]"){kind=small}
ArcCurvature[a x ^ 2 + b x + c, x]Simplify[% /. x -> -b / (2a), a∈Reals]ArcCurvature[{1, t, 2t}, t, {{"Toroidal", {a}}, "Euclidean"}]Show[ParametricPlot3D[{{Cos[2 t]Sin[1], Sin[1]Sin[2 t], Cos[1]}, {Cos[1]Sin[t], -Sin[1]Sin[t], Cos[t]}}, {t, 0, π}, PlotStyle -> Thick, PlotLegends -> {"Parallel", "Meridian"}], Graphics3D[{Opacity[.5], Sphere[]}], PlotRange -> All]作为三维空间中的曲线，它们具有预期的与半径呈倒数关系的曲率：
ArcCurvature[{R Sin[θ] Cos[φ], R Sin[θ] Sin[φ], R Cos[θ]}, θ, "Cartesian"]//SimplifyArcCurvature[{R Sin[θ] Cos[φ], R Sin[θ] Sin[φ], R Cos[θ]}, φ, "Cartesian"]//Simplify在球面上，作为测地线的经线的曲率为零，但非赤道纬线不是这样：
ArcCurvature[{θ, φ}, θ, {"Standard", {"Sphere", {R}}}]ArcCurvature[{θ, φ}, φ, {"Standard", {"Sphere", {R}}}]% /. θ -> π / 2ArcCurvature[{t, t ^ 2, t ^ 3, t ^ 4, t ^ 5}, t]应用 (2)
lem[t_] := (Cos[t]/1 + Sin[t]^2){1, Sin[t]}1 / ArcCurvature[lem[t], t]//SimplifyParametricPlot[lem[t], {t, 0, 2Pi}]Fary–Milnor 定理指出，总曲率 
小于 
的闭合曲线不能为结. 因此，因为圆的总曲率为 
，不能为结：
unknot = 2{Sin[#], Cos[#], 0}&Integrate[ArcCurvature[unknot[t], t] Norm[unknot'[t]], {t, 0, 2Pi}]
knot = KnotData["Trefoil", "SpaceCurve"]NIntegrate[ArcCurvature[knot[t], t] Norm[knot'[t]], {t, 0, 2Pi}]ParametricPlot3D[{knot[t], unknot[t]}, {t, 0, 2Pi}, PlotStyle -> {Thick, Directive[Thick, Dashed]}, PlotLegends -> {"Trefoil (Knot)", "Circle (Unknot)"}]属性和关系 (2)
ArcCurvature 仅返回一个单一曲率：
ArcCurvature[{t, 0, -t ^ 2, 2t ^ 3}, t]FrenetSerretSystem 返回在维度 
上的所有 
个曲率：
First[FrenetSerretSystem[{t, 0, -t ^ 2, 2t ^ 3}, t]]ArcCurvature 无符号：
ArcCurvature[{Sin[θ], Cos[θ]}, θ]ArcCurvature[{-Sin[θ], Cos[θ]}, θ]从 FrenetSerretSystem 提取有符号的二维曲率：
FrenetSerretSystem[{Sin[θ], Cos[θ]}, θ][[1, 1]]FrenetSerretSystem[{-Sin[θ], Cos[θ]}, θ][[1, 1]]
Wolfram Research (2014)，ArcCurvature，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/ArcCurvature.html.
文本
Wolfram Research (2014)，ArcCurvature，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/ArcCurvature.html.
CMS
Wolfram 语言. 2014. "ArcCurvature." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/ArcCurvature.html.
APA
Wolfram 语言. (2014). ArcCurvature. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/ArcCurvature.html 年