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AsymptoticEquivalent

AsymptoticEquivalent[f,g,xx^*]

给出当 xx^* 时的条件.

AsymptoticEquivalent[f,g,{x₁,…,x_n}{,…,}]

给出当 {x₁,…,x_n}{,…,} 时的条件.

范例

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基本范例 (2)

验证当时，：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[x ^ 2 + 3x + 2 , x ^ 2, x -> ∞]

当时函数的比值趋近于：

Wolfram Language code: Plot[(2 + 3 x + x^2/x^2), {x, 0, 100}, PlotTheme -> "Detailed", PlotRange -> {0, 2}]

验证当时，：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[x ^ 2 + 5x + y ^ 2, x ^ 2 + y ^ 2, {x, y} -> {∞, ∞}]

当和的值较大时函数的比值趋近于：

Wolfram Language code: Plot3D[(x ^ 2 + 5x + y ^ 2/x ^ 2 + y ^ 2), {x, 2, 30}, {y, 2, 30}, PlotTheme -> "Detailed", PlotRange -> {0, 2}]

范围 (10)

比较不是严格为正 (positive) 的函数:

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[x, -x ^ 2, x -> ∞]

证明在原点处发散的速度和程度与相同：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[(1/x^2), (1/x Sin[x]), x -> 0]

答案可能是布尔表达式，而不是明确的 True 或 False：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[(1/Sinh[p(x - 1)]), (1/x - 1), x -> 1]

当比较有参数的函数时，可能会针对结果给出条件：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[Sin[(x - 2)]^p, Sinh[x - 2], x -> 2]

Wolfram Language code: AsymptoticEqual[Sin[p(x - 1)], (x - 1) ^ q, x -> 1]

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[(x - 1) ^ p, (x - 1) ^ q, x -> 1]

缺省情况下，在两个方向上对函数进行比较：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[x^4, x^2 (1 - Cos[Sqrt[2]x])UnitStep[x], x -> 0]

当比较较大的值时，与 $x^2(1-cos(x)) TemplateBox[{{x}}, UnitStepSeq]$ 减小的速率相同：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[x^4, x^2(1 - Cos[Sqrt[2]x]) UnitStep[x], x -> 0, Direction -> "FromAbove"]

但对于较小的值，这种关系不再成立：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[x^4, x^2(1 - Cos[Sqrt[2]x]) UnitStep[x], x -> 0, Direction -> "FromBelow"]

可视化两个函数的比值，显示它从上方趋近于 1，但从下方则不然：

Wolfram Language code: Plot[(x^2(1 - Cos[Sqrt[2]x]) UnitStep[x]/x^4), {x, -1, 1}, PlotTheme -> "Detailed"]

像 Sqrt 这样的函数可能在负实数的两个实数方向上具有相同的关系：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[(Sqrt[z] - I)^3, I(z + 1)^3 / 8, z -> -1]

如果从复平面的上方接近，可以看到同样的关系：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[(Sqrt[z] - I)^3, I(z + 1)^3 / 8, z -> -1, Direction -> -I]

然而，如果从复平面的下方接近会得到不同的结果：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[(Sqrt[z] - I)^3, I(z + 1)^3 / 8, z -> -1, Direction -> I]

这是由于在与坐标轴相交时 Sqrt 的虚部的符号发生了反转：

Wolfram Language code:

TableForm[Table[{-1 + Δ, Sqrt[-1 + Δ], Abs[Sqrt[-1 + Δ] - I]}, {Δ, {0.01, -0.01, 0.01I, -0.01I}}], TableHeadings -> {None, {z, Sqrt[z], HoldForm@Abs[Sqrt[z] - I]}}]

因而，总的来说，这种关系在复平面上不成立：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[(Sqrt[z] - I)^3, I(z + 1)^3 / 8, z -> -1, Direction -> Complexes]

可视化从四个主要复方向逼近时定义渐近等价的量：

Wolfram Language code:

Plot[{Abs[ (I Δz^3 / 8/(Sqrt[-1 + Δz] - I)^3) - 1], Abs[ (I(I Δz)^3 / 8/(Sqrt[-1 + I Δz] - I)^3) - 1]}, {Δz, -1, 1}, IconizedObject[«plot options»]]

比较多变量函数：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[(x - 1)^2(y - 2), Sin[ x]Cos[3y / 4], {x, y} -> {1, 2}]

可视化两个函数的范数：

Wolfram Language code: Plot3D[{Abs[(x - 1)^2(y - 2)], Abs[Sin[ x]Cos[ 3y / 2]]}, {x, y}∈Disk[{1, 2}, .9], PlotTheme -> "Detailed"]

在无穷大处比较多变量函数：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[ Exp[x]Log[y], x y, {x, y} -> {-∞, ∞}]

在比较多变量函数时使用参数：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[Sinh[x]y, Sinh[a x]y ^ 2, {x, y} -> {∞, 1}]

选项 (9)

Assumptions (1)

用 Assumptions 为参数指定条件：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[1 + x^n, x^n, x -> ∞, Assumptions -> n ≥ 0]

不同的假设给出不同的结果：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[1 + x^n, x^n, x -> ∞, Assumptions -> n < 0]

Direction (5)

从下方比较等价性：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[x UnitStep[x], Sin[x], x -> 0, Direction -> "FromBelow"]

或者是：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[x UnitStep[x], Sin[x], x -> 0, Direction -> 1]

从上方比较等价性：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[x UnitStep[x], Sin[x], x -> 0, Direction -> "FromAbove"]

或者是：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[x UnitStep[x], Sin[x], x -> 0, Direction -> -1]

在分段不连续处的等价性：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[FractionalPart[x ^ 2]Sin[x], 4Sin[2](x - 2), x -> 2, Direction -> "FromBelow"]

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[FractionalPart[x ^ 2]Sin[x], 4Sin[2](x - 2), x -> 2, Direction -> "FromAbove"]

由于在一个方向上不成立，两个方向上同样不成立：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[FractionalPart[x ^ 2]Sin[x], 4Sin[2](x - 2), x -> 2, Direction -> "TwoSided"]

可视化两个函数及它们的比值：

Wolfram Language code:

Plot[{FractionalPart[x ^ 2]Sin[x], 4Sin[2](x - 2), Abs[(FractionalPart[x ^ 2]Sin[x]/4Sin[2](x - 2))]}, {x, 1.5, 2.5}, PlotLegends -> "Expressions"]

在极点处的等价性与逼近的方向无关：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[Tan[x], (-2/2x - π), x -> π / 2, Direction -> "FromBelow"]

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[Tan[x], (-2/2x - π), x -> π / 2, Direction -> "FromAbove"]

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[Tan[x], (-2/2x - π), x -> π / 2, Direction -> ℝ]

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[Tan[x], (-2/2x - π), x -> π / 2, Direction -> ℂ]

在分支切割处的等价性：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[ Sqrt[x - 1] - I, (-I Tanh[x]/2), x -> 0, Direction -> +I]

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[ Sqrt[x - 1] - I, (-I Tanh[x]/2), x -> 0, Direction -> -I]

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[ Sqrt[x - 1] - I, (-I Tanh[x]/2), x -> 0, Direction -> Reals]

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[ Sqrt[x - 1] - I, (-I Tanh[x]/2), x -> 0, Direction -> Complexes]

从不同象限逼近，计算等价性：

Wolfram Language code: f[x_, y_] := Piecewise[{{x*y, y >= 0 && x <= 0}, {2*x*y, y > 0 && x > 0}}, 0]

Wolfram Language code: g[x_, y_] := Sin[x y]

从第一象限逼近原点：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[f[x, y], g[x, y], {x, y} -> {0, 0}, Direction -> "FromAbove"]

等价于：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[f[x, y], g[x, y], {x, y} -> {0, 0}, Direction -> {"FromAbove", "FromAbove"}]

从第二象限逼近原点：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[f[x, y], g[x, y], {x, y} -> {0, 0}, Direction -> {"FromBelow", "FromAbove"}]

从右半平面逼近原点：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[f[x, y], g[x, y], {x, y} -> {0, 0}, Direction -> {"FromAbove", Reals}]

从下半平面逼近原点：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[f[x, y], g[x, y], {x, y} -> {0, 0}, Direction -> {Reals, "FromBelow"}]

可视化函数的比值：

Wolfram Language code: Plot3D[(f[x, y]/g[x , y]), {x, y}∈Annulus[{.01, 1}], AxesLabel -> Automatic, Exclusions -> {Sin[x y] == 0}]//Quiet

GenerateConditions (3)

返回结果，不给出条件：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[1 + x ^ n, 1, x -> 0, GenerateConditions -> False]

只有在 n>0 时结果才有效：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[1 + x ^ n, 1, x -> 0]

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[1 + x ^ n, 1, x -> 0, Assumptions -> n ≤ 0]

如果结果取决于参数的值，不计算，直接返回：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[Exp[a x], 1, x -> ∞, GenerateConditions -> None]

缺省情况下，返回给出唯一结果的条件：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[Exp[a x], 1, x -> ∞]

缺省情况下，如果结果只在特殊值的时候才无效，不给出条件：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[x^2 y^2, (x - a)^2y^2, {x, y} -> {0, 0}]

当 GenerateConditions->True 时，非通用条件也要报告：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[x^2 y^2, (x - a)^2y^2, {x, y} -> {0, 0}, GenerateConditions -> True]

应用 (12)

基本应用 (5)

证明在无穷远处等价的两个单项式具有相同的幂和系数：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[x^n, x^m, x -> ∞, Assumptions -> m > n]

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[a x^n, b x^n, x -> ∞]

用上式证明等价的两个多项式有相同的首项单项式：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[a x^n + b x^k, a x^n + c x^l, x -> ∞, Assumptions -> 0 < k ≤ l < n]

可视化三对渐近等价多项式：

Wolfram Language code:

LogLogPlot[{x^3 + 5x^2 + 1, x^3 + 100x + 75, 5x^3 + 1, 5x^3 + 50x^2, x^4, x^4 + 100x^2 + 2500}, {x, 1, 1000}, PlotTheme -> {"Detailed", "Marketing"}]

证明在无穷远处等价的两个形为的单项式具有相同的幂和系数：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[(1/x^n), (1/x^m), x -> 0, Assumptions -> m > n > 0]

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[(a/x^n), (b /x^n), x -> 0]

用上式来证明两个形为的等价多项式的首项单项式相同：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[(a/x^n) + (b/x^k), (a/x^n) + (c/x^l), x -> 0, Assumptions -> 0 < k ≤ l < n]

可视化三对形为的渐近等价多项式：

Wolfram Language code:

LogLogPlot[{x^-3 + 5x^-2 + 1000, x^-3 + 100x + 75, 5x^-3 + 1, 5x^-3 + 50x^-2, x^-4, x^-4 + 100x^-2 + 2500}, {x, 0, 1}, PlotTheme -> {"Detailed", "Marketing"}, ImageSize -> Medium]

证明在 0 处，尽管：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[x^2(2 + Sin[1 / x]), 2x^2, x -> 0]

Wolfram Language code: AsymptoticEqual[x^2(2 + Sin[1 / x]), 2x^2, x -> 0]

可视化该函数：

Wolfram Language code: Plot[{Abs[x^2(2 + Sin[1 / x])], x^2}, {x, -(1/3), (1/3)}, PlotLegends -> "Expressions"]

尽管它们无限次地相等，始终偏离 1：

Wolfram Language code: LogLogPlot[{Abs[x^2(2 + Sin[1 / x])], 2x^2}, {x, 10 ^ -4, 1 / 3}, PlotLegends -> "Expressions", PlotPoints -> 101]

证明在处，尽管：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[x^2(2 + Sin[x]), 2x^2, x -> ∞]

Wolfram Language code: AsymptoticEqual[x^2(2 + Sin[x]), 2x^2, x -> 0]

尽管它们无限次地相等，始终偏离 1：

Wolfram Language code: LogPlot[{Abs[x^2(2 + Sin[x])], 2x^2}, {x, 1, 100}, PlotLegends -> "Expressions"]

证明在处：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[x^2Sin[10 / x], 10x, x -> ∞]

Wolfram Language code: LogPlot[{Abs[x^2Sin[10 / x]], 10x}, {x, 1, 20}, PlotLegends -> "Expressions", PlotRange -> All]

渐近近似 (7)

如果时，则函数在时近似于，且具有较小的相对误差. 证明时近似于，且具有较小的相对误差：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[Exp[x], 1 + x, x -> 0]

证明时近似于，且具有较小的相对误差：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[(1/x) + (1/x^2), (1/x^2), x -> 0]

但上述近似的绝对误差并不小：

Wolfram Language code: Limit[Abs[((1/x) + (1/x^2)) - (1/x^2)], x -> 0]

同样地，Stirling 公式对在时的近似也具有较小的相对误差：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[n!, Sqrt[2π n](n / E)^n, n -> ∞]

但绝对误差并不小：

Wolfram Language code: Limit[n! - Sqrt[2π n](n / E)^n, n -> ∞]

如果是一个函数，是在附近的近似值，如果在处，则近似是渐近的. 换句话说，近似具有较小的相对误差. 证明是在处的渐近近似值：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[x^2 + x + 1, 1, x -> 0]

证明是在处的渐近近似：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[x^2 + x + 1, x + 1, x -> 0]

但是，不是在处的渐近近似：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[x^2 + x + 1, 1.5, x -> 0]

Stirling 公式给出了在时的渐近近似：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[n!, Sqrt[2π n](n / E)^n, n -> ∞]

证明是在时的渐近近似：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[PrimePi[x], x / Log[x], x -> ∞]

另一个渐近近似由给出：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[PrimePi[x], LogIntegral[x], x -> ∞]

Series 可以生成基本函数和特殊函数的渐近近似. 例如，生成在处的 10 次 (degree-10) 近似：

Wolfram Language code: sin = Normal@Series[Sin[x], {x, 0, 10}]

证明级数是渐近的：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[Sin[x], sin, x -> 0]

给出 Cot[x] 在 0 处的渐近级数：

Wolfram Language code: cot = Normal@Series[Cot[x], {x, 0, 5}]

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[Cot[x], cot, x -> 0]

证明 Gamma[x] 的级数在 -1 处是渐近级数：

Wolfram Language code: gamma = Normal@Series[Gamma[x], {x, -1, 2}]

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[Gamma[x], gamma, x -> -1]

求在 0 处的渐近近似：

Wolfram Language code: expr = Normal@Series[Log[Sin[x]]^1 / 3, {x, 0, 3}]

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[Log[Sin[x]]^1 / 3, expr, x -> 0]

当要近似的函数在近似点的每个邻域中无限多次逼近于零时，渐近近似可能会有微妙的变化. 作为一个例子，我们来考虑在附近的渐近展开式：

Wolfram Language code: besselJ = Normal@Series[BesselJ[1, x], {x, ∞, 2}]

无法证明近似值为渐近的：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[BesselJ[1, x], besselJ, x -> ∞]

问题是在贝塞尔函数的每个零点上近似值都不是零：

Wolfram Language code: {BesselJ[1, x], besselJ} /. x -> BesselJZero[1, 25]//N

尽管总的来说比值是接近于 1 的，但无数次地不成立：

Wolfram Language code: Plot[besselJ / BesselJ[1, x], {x, 1, 40}, PlotTheme -> "Detailed", PlotPoints -> 200]

另一方面，我们来考虑永远非零的 Hankel 函数的近似：

Wolfram Language code: hankel1 = Normal@Series[HankelH1[1, x], {x, ∞, 2}]//Expand

近似是渐近的：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[HankelH1[1, x], hankel1, x -> ∞]

第二类 Hankel 函数的近似也是渐近的：

Wolfram Language code: hankel2 = Normal@Series[HankelH2[1, x], {x, ∞, 2}]//Expand

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[HankelH2[1, x], hankel2, x -> ∞]

由于，作为两个这种近似的和，它的近似可以理解为几乎是渐近的：

Wolfram Language code: FullSimplify[besselJ == (hankel1 + hankel2/2)]

或者，来考虑在附近的渐近近似：

Wolfram Language code: besselJP1 = Normal@Series[1 + BesselJ[1, x], {x, ∞, 2}]//Expand

这是真正的渐近近似：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[1 + BesselJ[1, x], besselJP1, x -> ∞]

近似与函数的比值的极限始终接近于：

Wolfram Language code: Plot[(besselJP1/1 + BesselJ[1, x]), {x, 1, 40}, PlotTheme -> "Detailed"]

用 AsymptoticIntegrate 来生成定积分的渐近近似. 例如，求在时的渐近近似，并与精确值进行比较：

Wolfram Language code: {approx, exact} = {AsymptoticIntegrate[E ^ (t x), {t, 0, 1}, {x, 0, 3}] , Integrate[E ^ (t x), {t, 0, 1}]}

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[exact, approx, x -> 0]

用更少的项给出渐近近似：

Wolfram Language code: approx2 = AsymptoticIntegrate[E ^ (t x), {t, 0, 1}, {x, 0, 1}]

上述近似渐近逼近于精确积分和第一个近似：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[exact, approx2, x -> 0]

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[approx, approx2, x -> 0]

用 AsymptoticIntegrate 来生成不定积分的渐近近似，尽管要考虑积分常数. 求在时的近似：

Wolfram Language code: {approx, exact} = {AsymptoticIntegrate[Sin[x], x, {x, 0, 3}], Integrate[Tan[x] Cos[x], x]}

证明近似是渐近的：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[exact, approx, x -> 0]

计算在时两个不同的渐近近似：

Wolfram Language code: approx2 = AsymptoticIntegrate[x^x, x, {x, 0, 2}]

Wolfram Language code: approx1 = AsymptoticIntegrate[x^x, x, {x, 0, 1}]

没有符号结果可供比较，但可以证明过程是渐近的：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[approx2, approx1, x -> 0]

用 AsymptoticDSolveValue 生成微分方程的渐近近似：

Wolfram Language code: deqn = {y''[x] - (x ^ 4 + E ^ x Sin[x]) y[x] == 0 == 0, y[0] == 0, y'[0] == 2};

Wolfram Language code: approx = AsymptoticDSolveValue[deqn, y[x], {x, 0, 8}]

没有精确结果可供比较，但可以证明过程是渐近的：

Wolfram Language code: approx2 = AsymptoticDSolveValue[deqn, y[x], {x, 0, 12}]

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[approx2, approx, x -> 0]

与通过 NDSolveValue 获得的数值解进行比较：

Wolfram Language code: nsol = NDSolveValue[deqn, y[x], {x, 0, 0.5}]

Wolfram Language code: Table[nsol - approx2, {x, 0, 0.5, 0.1}]

属性和关系 (4)

AsymptoticEquivalent 是一种等价关系，意味着它是自反的（即）：

Wolfram Language code: AsymptoticEquivalent[f[x], f[x], x -> x0]

还是一种传递关系（即若和成立，则有）：

Wolfram Language code: {f, g, h} = {x, x^2 / (1 + x), x^3 / (1 + x^2)};

Wolfram Language code: {AsymptoticEquivalent[f, g, x -> ∞], AsymptoticEquivalent[g, h, x -> ∞], AsymptoticEquivalent[f, h, x -> ∞]}

也是对称的（即意味着）：

Wolfram Language code: {AsymptoticEquivalent[f, g, x -> ∞], AsymptoticEquivalent[g, f, x -> ∞]}

当且仅当 Limit[f[x]/g[x],xx₀]1 时，AsymptoticEquivalent[f[x],g[x],xx₀] 的结果为：

Wolfram Language code: {f, g} = {x, x^2 / (1 + x)};

Wolfram Language code: {AsymptoticEquivalent[f, g, x -> ∞], Limit[f / g, x -> ∞]}

具体来讲，如果极限为 Indeterminate，则：

Wolfram Language code: {f, g} = {x(1 + Sin[x]), x^2 / (1 + x)};

Wolfram Language code: {AsymptoticEquivalent[f, g, x -> ∞], Limit[f / g, x -> ∞]}

如果，则：

Wolfram Language code: {f, g} = {x, x^2 / (1 + x)};

Wolfram Language code: {AsymptoticEquivalent[f, g, x -> ∞], AsymptoticEqual[f, g, x -> ∞]}

反过来不成立，所以 AsymptoticEquivalent 比 AsymptoticEqual 更严格：

Wolfram Language code: {f, g} = {x, 2x^2 / (1 + x)};

Wolfram Language code: {AsymptoticEquivalent[f, g, x -> ∞], AsymptoticEqual[f, g, x -> ∞]}

当且仅当时，：

Wolfram Language code: {f, g} = {x, x^2 / (1 + x)};

Wolfram Language code: {AsymptoticEquivalent[f, g, x -> ∞], AsymptoticLess[f - g, g, x -> ∞]}

同样的，当且仅当时，：

Wolfram Language code: {AsymptoticEquivalent[f, g, x -> ∞], AsymptoticGreater[g, f - g, x -> ∞]}

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	AsymptoticEquivalent[f[x],g[x],xx^*]	对于所有的，存在使得 $0<TemplateBox[{{x, -, {x, ^, }}}, Abs]<delta(c,x^)$ 意味着成立
	AsymptoticEquivalent[f[x₁,…,x_n],g[x₁,…,x_n],{x₁,…,x_n}{,…,}]	对于所有的，存在使得 $0<TemplateBox[{{{, {{{x, _, 1}, -, {x, _, {(, 1, )}, ^, }}, ,, ..., ,, {{x, _, n}, -, {x, _, {(, n, )}, ^, }}}, }}}, Norm]<delta(epsilon,x^*)$ 意味着 $TemplateBox[{{{f, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}, -, {g, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}}}, Abs]<=cTemplateBox[{{g, (, x, )}}, Abs]$ 成立

	AsymptoticEquivalent[f[x],g[x],x∞]	对于所有的，存在使得意味着成立
	AsymptoticEquivalent[f[x₁,…,x_n],g[x₁,…,x_n],{x₁,…,x_n}{∞,…,∞}]	对于所有的，存在使得意味着 $TemplateBox[{{{{f, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}, /, {g, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}}, -, 1}}, Abs]<=c$ 成立

Assumptions	$Assumptions	对参数的设定
Direction	Reals	趋近极限点的方向
GenerateConditions	Automatic	对参数生成条件
Method	Automatic	所使用的方法
PerformanceGoal	"Quality"	优化目标

	Reals or "TwoSided"	从两个实方向
	"FromAbove" or -1	从上面或较大的值
	"FromBelow" or +1	从下面或较小的值
	Complexes	从所有复方向
	Exp[ θ]	从方向
	{dir₁,…,dir_n}	对变量 x_i 分别使用方向 dir_i

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