AsymptoticProduct
AsymptoticProduct[f,x,xx0]
x0の近くの x の不定乗積
についての漸近近似を計算する．
AsymptoticProduct[f,{x,a,b},αα0]
α0の近くの α の定乗積
の漸近近似を計算する．
AsymptoticProduct
AsymptoticProduct[f,x,xx0]
x0の近くの x の不定乗積
についての漸近近似を計算する．
AsymptoticProduct[f,{x,a,b},αα0]
α0の近くの α の定乗積
の漸近近似を計算する．
AsymptoticProduct[f,…,{ξ,ξ0,n}]
次数 n までの漸近近似を計算する．
詳細とオプション
- AsymptoticProductは，厳密な結果が求まらない積を計算したり，計算，比較，解釈についてより簡単な答を求めたりするために使われることが多い．そのような場合には，適用された問題を解くために十分な情報を漸近近似がしばしば与える．
- AsymptoticProduct[f,…,ξξ0]は，f の積の漸近展開における最高次の項を計算する．SeriesTermGoal を使うとより多くの項が指定できる．
- 厳密な結果が g[x]で x0における次数 n の漸近近似が gn[x]なら，xx0のとき，AsymptoticLess[g[x]-gn[x],gn[x]-gn-1[x],xx0]または g[x]-gn[x]∈o[gn[x]-gn-1[x]]である．
- 漸近近似 gn[x]はしばしば総和 gn[x]
αkϕk[x]として与えられる．ここで，{ϕ1[x],…,ϕn[x]}は xx0のときの漸近尺度 ϕ1[x]≻ϕ2[x]≻⋯>ϕn[x]である．そうすると，xx0のとき，AsymptoticLess[g[x]-gn[x],ϕn[x],xx0]または g[x]-gn[x]∈o[ϕn[x]]である． -
xx0のときのテイラー(Taylor)スケール 
xx0のときのローラン(Laurent)スケール 
x±∞のときのローランスケール 
xx0のときのピュイゾー(Puiseux)スケール - 漸近近似を表すために使われる尺度は，問題から自動的に推測される．より珍しい尺度が含まれることも多い．
- 中心 α0は，任意の有限または無限の実数または複素数でよい．
- 次数 n は漸近展開の近似次数を指定するもので，正の整数でなければならない．この次数は，多項式次数とは無関係である．
- 次は，使用可能なオプションである．
-
AccuracyGoal Automatic 目標絶対確度の桁数 Assumptions $Assumptions パラメータについての仮定 GenerateConditions Automatic パラメータについての条件を含む答を生成するかどうか GeneratedParameters None 生成されたパラメータの名付け方 Method Automatic 使用するメソッド PerformanceGoal $PerformanceGoal パフォーマンスのどの局面について最適化するか PrecisionGoal Automatic 目標精度の桁数 Regularization None 使用する正規化スキーム SeriesTermGoal Automatic 近似項数 WorkingPrecision Automatic 内部計算の精度 - GenerateConditionsにデフォルト設定のAutomaticを使うと，AsymptoticProductからの結果にパラメータについての条件は通常は含まれない．GenerateConditionsをTrueにするとパラメータについての条件を含む答が得られるかもしれない．
- PerformanceGoalの可能な設定には，$PerformanceGoal，"Quality"，"Speed"がある．"Quality"設定のとき，AsymptoticRSolveValueはより多くの問題を解いたりより簡単な結果を与えたりすることが多いが，より多くの時間とメモリが必要になる可能性がある．
- WorkingPrecision，AccuracyGoal，PrecisionGoalにデフォルト設定のAutomaticを使うと，AsymptoticProductは，たとえ入力精度が無限でも低精度の漸近近似を返すことがある．
例題
すべて開く すべて閉じる例 (2)
AsymptoticProduct[k, {k, 2, n}, n -> ∞]{% /. {n -> 20.}, Product[k, {k, 2, 20}]//N}SeriesTermGoalを使って近似を向上させる：
AsymptoticProduct[k, {k, 2, n}, n -> ∞, SeriesTermGoal -> 2]% /. {n -> 20.}f[a_] := (k^2 - 1/k^2 + a)DiscretePlot[Product[f[0.02], {k, 2, n}], {n, 5, 40}, PlotStyle -> Red]AsymptoticProduct[f[a], {k, 2, ∞}, {a, 0, 2}]{% /. {a -> 0.02}, Product[f[0.02], {k, 2, ∞}]}スコープ (14)
基本的な用法 (3)
不定乗積 (5)
AsymptoticProduct[(k + 1)k, k, {k, ∞, 2}]//TogetherProductが与える結果と比較する：
Product[(k + 1)k, k]Series[%, {k, ∞, 2}]//Normal//TogetherAsymptoticProduct[1 / (k + 3), k, {k, ∞, 3}]AsymptoticProduct[(k ^ 2 + 1) / (k ^ 2 - 2), k, {k, ∞, 5}]AsymptoticProduct[k k!, k, {k, ∞, 2}](% /. k -> 21.) / (% /. k -> 1.)NProductが与える値と比較する：
NProduct[k k!, {k, 1, 20}]AsymptoticProduct[E ^ (-k) / (k + 2), k, {k, ∞, 2}]AsymptoticProduct[(k ^ (13 / 4) - 1) / (k ^ (13 / 4) + 1), k, {k, ∞, 3}]定乗積 (4)
AsymptoticProduct[(k ^ 2 + 3) / (k ^ 2 - 3), {k, 3, n}, {n, ∞, 2}]DiscretePlot[Product[(k ^ 2 + 3) / (k ^ 2 - 3), {k, 3, n}], {n, 4, 50}]NProductが与える結果と比較する：
%% /. {n -> 30.`20}//N//ChopNProduct[(k ^ 2 + 3) / (k ^ 2 - 3), {k, 3, 30}]AsymptoticProduct[E ^ (-k)k ^ 2 / (k + 1), {k, 1, n - 1}, {n, ∞, 1}]NProductが与える結果と比較する：
% /. {n -> 20.`20}NProduct[E ^ (-k)k ^ 2 / (k + 1), {k, 1, 19}]AsymptoticProduct[k! k ^ 2, {k, 1, n}, n -> ∞]//Simplify% /. n -> 100.`20//ChopProduct[k! k ^ 2, {k, 1, n}] /. {n -> 100.}AsymptoticProduct[(k ^ (13 / 4) - 1) / (k ^ (13 / 4) + 1), {k, 2, n}, {n, ∞, 3}]% /. {n -> 80}Product[(k ^ (13 / 4) - 1) / (k ^ (13 / 4) + 1), {k, 2., 50}]パラメトリックな積 (2)
AsymptoticProduct[ k + a, {k, 1, n}, {a, 0, 2}]//FullSimplify% /. {a -> 0.03, n -> 200}//NNProductが与える結果と比較する：
NProduct[k + 0.03, {k, 1, 200}](% - %%) / % * 100AsymptoticProduct[1 - z ^ 2 / ( i ^ 2), {i, 1, ∞}, {z, 0, 2}]% /. {z -> 0.13}NProductが与える結果と比較する：
NProduct[1 - 0.13 ^ 2 / ( i ^ 2), {i, 1, ∞}]AsymptoticProduct[1 - z ^ 2 / ( i ^ 2), {i, 1, ∞}, {z, 0, 4}]% /. {z -> 0.13}アプリケーション (4)
AsymptoticProduct[(k ^ 2 + 4) / (k ^ 2 + 1), {k, 1, n}, {n, ∞, 3}]Table[%, {n, {5, 10, 300}}]//N[#, 20]&//N//ChopProductが与える厳密な結果と比較する：
Table[Product[(k ^ 2 + 4) / (k ^ 2 + 1), {k, 1, n}], {n, {5, 10, 300}}]//N[#, 20]&//N//ChopProduct[(k ^ 2 + 4) / (k ^ 2 + 1), {k, 1, n}]Series[%, {n, ∞, 3}]//Normal不定有理乗積の値を対応する定乗積の漸近展開を使って計算する：
fp = AsymptoticProduct[(i ^ 3 - 1) / (i ^ 3 + 1), {i, 2, n}, {n, ∞, 2}]fp /. {n -> ∞}DiscreteLimitを使って同じ答を得る：
DiscreteLimit[Product[(i ^ 3 - 1) / (i ^ 3 + 1), {i, 2, n}], n -> ∞]Productを使って得た答を確認する：
Product[(i ^ 3 - 1) / (i ^ 3 + 1), {i, 2, ∞}]不定乗積の収束を，対応する不定乗積の漸近展開を計算することで確立する：
AsymptoticProduct[(3i ^ 2 + 5) / (3i ^ 2 + 1), i, i -> ∞]AsymptoticProduct[(3i ^ 2 + 5) / (3i ^ 2 + 1), {i, 1, n}, n -> Infinity]Productを使って同じ結果を得る：
Product[(3i ^ 2 + 5) / (3i ^ 2 + 1), {i, 1, ∞}]
asy = 2 AsymptoticProduct[(4 k ^ 2) / ((2 k - 1) (2 k + 1)), {k, 1, n}, {n, ∞, 3}]//ExpandTable[asy, {n, 1000, 10000, 2000}]//NDiscreteLimit[asy, n -> ∞]DiscretePlot[asy, {n, 1000, 10000, 500}]特性と関係 (4)
AsymptoticProductは指定された次数までの積を計算する：
asym = AsymptoticProduct[k, {k, 1, n}, {n, ∞, 2}]//Simplifyexact = n!;Series[asym - exact, {n, ∞, 2}]//Normal//FullSimplifyProductを使って積を閉じた形で計算する：
AsymptoticProduct[1 / (k ^ 2 - 1), {k, 2, n}, {n, ∞, 2}]Product[1 / (k ^ 2 - 1), {k, 2, n}]Series[% - %%, {n, ∞, 2}]//Normal//SimplifyNProductを使って数値近似を計算する：
AsymptoticProduct[1 / k ^ 2, {k, 1, n}, {n, ∞, 2}]% /. {n -> 40.`20}//NNProduct[1 / k ^ 2, {k, 1, 40}]AsymptoticProduct[(k ^ (5 / 4) - 1) / (k ^ (5 / 4) + 1), k, k -> ∞]DiscreteAsymptoticを使って同じ結果を得る：
Product[(k ^ (5 / 4) - 1) / (k ^ (5 / 4) + 1), k]DiscreteAsymptotic[%, k -> ∞]
Wolfram Research (2020), AsymptoticProduct, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticProduct.html.
テキスト
Wolfram Research (2020), AsymptoticProduct, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticProduct.html.
CMS
Wolfram Language. 2020. "AsymptoticProduct." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticProduct.html.
APA
Wolfram Language. (2020). AsymptoticProduct. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticProduct.html